Theorem elfzlmr 12747

Description: A member of a finite interval of integers is either its lower bound or its upper bound or an element of its interior. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfzlmr	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))

Proof of Theorem elfzlmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 12510	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fzpred 12553	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
3	2	eleq2d 2813	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁))))
4		elsni 4326	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑀} → 𝐾 = 𝑀)
5		elfzr 12746	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))
6	4, 5	orim12i 539	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐾 = 𝑀 ∨ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
7		elun 3884	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ↔ (𝐾 ∈ {𝑀} ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
8		3orass 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁) ↔ (𝐾 = 𝑀 ∨ (𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
9	6, 7, 8	3imtr4i 281	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))
10	3, 9	syl6bi 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁)))
11	1, 10	mpcom 38	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐾 = 𝑀 ∨ 𝐾 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∨ 𝐾 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∨ w3o 1071   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ∪ cun 3701  {csn 4309  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  1c1 10100   + caddc 10102  ℤ_≥cuz 11850  ...cfz 12490  ..^cfzo 12630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631

This theorem is referenced by:  elfz0lmr  12748