MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzle1 12382
Description: A member of a finite set of sequential integer is greater than or equal to the lower bound. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzle1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)

Proof of Theorem elfzle1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12376 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzle 11738 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝐾)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cle 10113  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  elfz1eq  12390  fzdisj  12406  elfznn  12408  ssfzunsnext  12424  fznatpl1  12433  fznn0sub2  12485  fz0fzdiffz0  12487  difelfznle  12492  seqf1olem1  12880  seqf1olem2  12881  bcval4  13134  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  fsum0diaglem  14552  mertenslem1  14660  fprodntriv  14716  fallfacval4  14818  divalglem6  15168  hashdvds  15527  prmdiveq  15538  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  dvfsumlem3  23836  birthdaylem3  24725  ppiltx  24948  ppiub  24974  lgsdilem2  25103  lgsquadlem1  25150  chtppilimlem1  25207  dchrvmasumiflem1  25235  pntrlog2bndlem5  25315  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntlemh  25333  pntlemj  25337  ostth2lem2  25368  axlowdimlem16  25882  fzto1st1  29980  smattr  29993  smatbl  29994  smatbr  29995  ballotlem2  30678  ballotlemsdom  30701  ballotlemsima  30705  ballotlemfrcn0  30719  ballotlem1ri  30724  breprexplemc  30838  subfacp1lem1  31287  subfacp1lem5  31292  inffz  31740  inffzOLD  31741  poimirlem2  33541  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem11  33550  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem22  33561  poimirlem24  33563  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  mblfinlem2  33577  fdc  33671  irrapxlem3  37705  acongrep  37864  fzmaxdif  37865  acongeq  37867  jm2.23  37880  jm2.26lem3  37885  jm2.27dlem2  37894  monoords  39825  fmul01lt1lem1  40134  fmul01lt1lem2  40135  sumnnodd  40180  limsupubuzlem  40262  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  dvnprodlem2  40480  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  stoweidlem3  40538  stoweidlem11  40546  stoweidlem20  40555  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  wallispi2  40608  dirkeritg  40637  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem15  40657  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem50  40691  fourierdlem52  40693  fourierdlem54  40695  fourierdlem79  40720  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem114  40755  elaa2lem  40768  etransclem3  40772  etransclem4  40773  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem23  40792  etransclem24  40793  etransclem31  40800  etransclem32  40801  etransclem35  40804  etransclem41  40810  etransclem46  40815  caratheodorylem1  41061  iccpartgt  41688
  Copyright terms: Public domain W3C validator