MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzelz 12380
Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzelz (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12376 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzelz 11735 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  fzssz  12381  elfz1eq  12390  fzsplit2  12404  fzdisj  12406  elfznn  12408  ssfzunsnext  12424  fznatpl1  12433  fzrev2i  12443  fzrev3i  12445  fznuz  12460  fzrevral  12463  fzshftral  12466  fznn0sub2  12485  elfzmlbm  12488  difelfznle  12492  predfz  12503  fzosplit  12540  fz1fzo0m1  12555  sermono  12873  seqf1olem1  12880  seqf1olem2  12881  bcval2  13132  bcval4  13134  bccmpl  13136  bcp1nk  13144  bcval5  13145  bcpasc  13148  bccl2  13150  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  swrdval2  13465  swrd0val  13466  addlenrevswrd  13483  swrd0fv  13485  ccatswrd  13502  swrdswrd  13506  swrdswrd0  13508  swrdccatin12lem2a  13531  swrdccatin12lem2b  13532  swrdccatin2  13533  swrdccatin12  13537  spllen  13551  splfv1  13552  cshwidxm  13600  cshwidxn  13601  lswcshw  13607  2cshwcshw  13617  cshwcshid  13619  cshwcsh2id  13620  seqshft  13869  sumrblem  14486  summolem2a  14490  fsum0diaglem  14552  mptfzshft  14554  fsumrev  14555  fsumshftm  14557  fsum0diag2  14559  binomlem  14605  binom11  14608  bcxmas  14611  arisum  14636  geo2sum  14648  mertenslem1  14660  prodfn0  14670  prodrblem  14703  prodmolem2a  14708  fprodntriv  14716  fprodser  14723  fprod1p  14742  fprodrev  14751  fallfacval3  14787  fallfacfwd  14811  0fallfac  14812  binomfallfaclem1  14814  binomfallfaclem2  14815  binomrisefac  14817  fallfacval4  14818  bpolycl  14827  bpolysum  14828  bpolydiflem  14829  fsumkthpow  14831  bpoly4  14834  fzm1ndvds  15091  pwp1fsum  15161  prmdvdsfz  15464  isprm7  15467  hashdvds  15527  phiprmpw  15528  prmdiveq  15538  prmdivdiv  15539  modprminv  15551  modprminveq  15552  modprm0  15557  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  vdwapun  15725  prmop1  15789  prmdvdsprmo  15793  prmdvdsprmop  15794  prmgaplem1  15800  prmgaplem2  15801  prmgaplcmlem1  15802  prmgaplcmlem2  15803  prmgapprmo  15813  cshwshashlem1  15849  cshwshashlem2  15850  dfod2  18027  efgredleme  18202  efgredlemc  18204  efgredlemb  18205  gsummptshft  18382  srgbinomlem3  18588  srgbinomlem4  18589  srgbinomlem  18590  chpscmatgsummon  20698  cayhamlem1  20719  iscmet3  23137  mbfi1fseqlem4  23530  itgz  23592  itgcl  23595  ibl0  23598  iblss  23616  iblss2  23617  itgss  23623  itgeqa  23625  iblconst  23629  iblabsr  23641  iblmulc2  23642  itgsplit  23647  dvfsumlem3  23836  plyeq0lem  24011  aalioulem1  24132  cxpeq  24543  birthdaylem2  24724  wilthlem1  24839  wilthlem2  24840  wilthlem3  24841  ftalem5  24848  basellem3  24854  basellem4  24855  dvdsppwf1o  24957  dvdsflf1o  24958  musum  24962  ppiub  24974  chtublem  24981  mersenne  24997  bposlem1  25054  lgsval2lem  25077  lgsdilem2  25103  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem4  25119  gausslemma2dlem1a  25135  gausslemma2dlem1  25136  gausslemma2dlem3  25138  gausslemma2dlem4  25139  gausslemma2dlem5a  25140  gausslemma2dlem5  25141  gausslemma2dlem6  25142  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgseisenlem3  25147  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  lgsquadlem3  25152  2lgslem1a1  25159  2lgslem1a  25161  2lgslem1b  25162  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem1  25229  dchrvmasum2lem  25230  dchrvmasum2if  25231  dchrvmasumlem3  25233  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmasumiflem2  25236  dchrisum0flblem1  25242  rpvmasum2  25246  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  dchrmusumlem  25256  dchrvmasumlem  25257  logdivbnd  25290  pntpbnd1  25320  pntlemh  25333  pntlemj  25337  pntlemf  25339  ostth2lem2  25368  axlowdimlem13  25879  axlowdimlem14  25880  axlowdimlem16  25882  crctcshlem4  26768  crctcshwlkn0  26769  erclwwlkeqlen  26976  clwwnisshclwwsn  27024  eleclclwwlknlem2  27026  erclwwlkneqlen  27032  clwlksfclwwlk  27049  fzsplit3  29681  bcm1n  29682  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  ballotlemodife  30687  ballotlemimin  30695  ballotlemsgt1  30700  ballotlemsel1i  30702  ballotlemsf1o  30703  ballotlemsi  30704  ballotlemsima  30705  ballotlemfg  30715  ballotlemfrc  30716  ballotlemfrceq  30718  ballotlemfrcn0  30719  ballotlemirc  30721  ballotlem1ri  30724  erdszelem8  31306  erdszelem9  31307  cvmliftlem7  31399  supfz  31739  inffz  31740  inffzOLD  31741  bcprod  31750  fwddifnp1  32397  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem7  33546  poimirlem14  33553  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  poimirlem31  33570  poimirlem32  33571  mblfinlem2  33577  iblmulc2nc  33605  fdc  33671  irrapxlem1  37703  irrapxlem2  37704  irrapxlem3  37705  pellexlem5  37714  acongrep  37864  fzmaxdif  37865  acongeq  37867  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.26lem3  37885  jm2.26  37886  jm2.27dlem2  37894  hashnzfz  38836  monoords  39825  elfzelzd  39843  fmul01lt1lem1  40134  fmul01lt1lem2  40135  sumnnodd  40180  limsupubuzlem  40262  dvnmul  40476  dvnprodlem2  40480  iblsplit  40500  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  stoweidlem3  40538  stoweidlem11  40546  stoweidlem20  40555  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem59  40594  stirlinglem10  40618  dirkertrigeqlem1  40633  dirkertrigeqlem2  40634  dirkertrigeqlem3  40635  dirkertrigeq  40636  dirkeritg  40637  fourierdlem11  40653  fourierdlem12  40654  fourierdlem15  40657  fourierdlem34  40676  fourierdlem41  40683  fourierdlem46  40687  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem50  40691  fourierdlem54  40695  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem79  40720  fourierdlem102  40743  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem114  40755  elaa2lem  40768  etransclem4  40773  etransclem7  40776  etransclem8  40777  etransclem17  40786  etransclem18  40787  etransclem20  40789  etransclem23  40792  etransclem27  40796  etransclem31  40800  etransclem32  40801  etransclem35  40804  etransclem41  40810  etransclem46  40815  etransclem48  40817  iundjiun  40995  caratheodorylem1  41061  2elfz2melfz  41653  elfzelfzlble  41656  el1fzopredsuc  41660  iccpartgtprec  41681  iccpartiltu  41683  iccpartgt  41688  iccpartnel  41699  fargshiftfo  41703  addlenrevpfx  41722  ccatpfx  41734  pfxccatin12lem1  41748  pfxccatin12lem2  41749  pfxccatin12  41750  altgsumbc  42455  altgsumbcALT  42456  nn0sumshdiglemA  42738  nn0sumshdiglemB  42739
  Copyright terms: Public domain W3C validator