Theorem elfzel2 12533

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12532	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 11889	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℤcz 11569  ℤ_≥cuz 11879  ...cfz 12519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-neg 10461  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12545  fzdisj  12561  fzssp1  12577  fzp1disj  12592  fzrev2i  12598  fzrev3  12599  elfz1b  12602  fznuz  12615  fznn0sub2  12640  elfzmlbm  12643  difelfznle  12647  nn0disj  12649  fz1fzo0m1  12710  fzofzp1b  12760  bcm1k  13296  bcp1nk  13298  swrdccatin12lem2  13689  spllen  13705  fsum0diag2  14714  fallfacval3  14942  fallfacval4  14973  psgnunilem2  18115  pntpbnd1  25474  crctcshwlkn0  26924  elfzfzo  39987  sumnnodd  40365  dvnmul  40661  dvnprodlem1  40664  dvnprodlem2  40665  stoweidlem34  40754  fourierdlem11  40838  fourierdlem12  40839  fourierdlem15  40842  fourierdlem41  40868  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem54  40880  fourierdlem79  40905  fourierdlem102  40928  fourierdlem114  40940  etransclem23  40977  etransclem35  40989  iundjiun  41180  2elfz2melfz  41838  elfzelfzlble  41841  iccpartiltu  41868  iccpartgt  41873  pfxccatin12lem2  41934