MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2nn0 12545
Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 11839 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘0))
21anbi1i 733 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
3 eluznn0 11871 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 eluzle 11813 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑁)
54adantl 473 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾𝑁)
63, 5jca 555 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
7 nn0z 11513 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
8 nn0z 11513 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz 11814 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
107, 8, 9syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
1110biimprd 238 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1211impr 650 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
136, 12impbida 913 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1413pm5.32i 672 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
152, 14bitr3i 266 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
16 elfzuzb 12450 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
17 3anass 1081 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1815, 16, 173bitr4i 292 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  cle 10188  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  ...cfz 12440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441
This theorem is referenced by:  elfznn0  12547  elfz3nn0  12548  0elfz  12551  fz0to3un2pr  12556  elfz0ubfz0  12558  elfz0fzfz0  12559  fz0fzelfz0  12560  uzsubfz0  12562  fz0fzdiffz0  12563  elfzmlbm  12564  elfzmlbp  12565  difelfzle  12567  difelfznle  12568  fvffz0  12572  fzofzim  12630  elfzodifsumelfzo  12649  elfzom1elp1fzo  12650  fzo0to42pr  12670  fzo0sn0fzo1  12672  elfznelfzo  12688  fvinim0ffz  12702  ssnn0fi  12899  fsuppmapnn0fiub  12905  fsuppmapnn0fiubOLD  12906  fsuppmapnn0fiub0  12908  suppssfz  12909  1elfz0hash  13292  swrdn0  13551  swrdtrcfv  13562  swrdeq  13565  swrdlen2  13566  swrdfv2  13567  swrdswrdlem  13580  swrdswrd  13581  swrdccatwrd  13589  swrdccatin1  13604  swrdccatin12lem2b  13607  swrdccatin12lem2  13610  swrdccatin12lem3  13611  swrdccatin12  13612  swrdccat3  13613  swrdccat  13614  swrdccat3blem  13616  swrdccatid  13618  2cshwcshw  13692  cshwcshid  13694  cshwcsh2id  13695  swrds2  13806  prm23lt5  15642  psgnunilem2  18036  gsummoncoe1  19797  mp2pm2mplem4  20737  chfacfisf  20782  chfacfisfcpmat  20783  chfacfpmmulgsum2  20793  aannenlem2  24204  chtublem  25056  lgsquadlem2  25226  pntpbnd2  25396  usgrexmplef  26271  usgr2pthlem  26790  crctcshwlkn0lem4  26837  crctcshwlkn0lem7  26840  crctcshwlkn0  26845  wwlksm1edg  26911  wwlksnred  26931  wwlksnextproplem3  26950  erclwwlkref  27064  clwwlkf  27097  wwlksubclwwlk  27110  clwlksfclwwlkOLD  27137  upgr4cycl4dv4e  27258  konigsbergiedgw  27321  konigsberglem1  27325  konigsberglem2  27326  konigsberglem3  27327  konigsberglem4  27328  numclwlk2lem2f  27459  numclwlk2lem2fOLD  27466  bcm1n  29784  eulerpartlemd  30658  ballotth  30829  plymulx0  30854  poimirlem6  33647  poimirlem7  33648  poimirlem28  33669  nnubfi  33778  nninfnub  33779  irrapxlem1  37805  jm2.27a  37991  stoweidlem17  40654  elfz2z  41752  2elfz3nn0  41753  2elfz2melfz  41755  iccpartigtl  41786  iccpartlt  41787  pfxeq  41831  pfx2  41839  pfxccatin12lem1  41850  pfxccatin12lem2  41851  pfxccatin12  41852  pfxccat3  41853  pfxccat3a  41856  fmtnodvds  41883  fmtnole4prm  41917
  Copyright terms: Public domain W3C validator