MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz2 12526
Description: Membership in a finite set of sequential integers. We use the fact that an operation's value is empty outside of its domain to show 𝑀 ∈ ℤ and 𝑁 ∈ ℤ. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))

Proof of Theorem elfz2
StepHypRef Expression
1 anass 684 . 2 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
2 df-3an 1074 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
32anbi1i 733 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
4 elfz1 12524 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁)))
5 3anass 1081 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
6 ibar 526 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
75, 6syl5bb 272 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾𝐾𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
84, 7bitrd 268 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
9 fzf 12523 . . . . . . 7 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
109fdmi 6213 . . . . . 6 dom ... = (ℤ × ℤ)
1110ndmov 6983 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ∅)
1211eleq2d 2825 . . . 4 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ ∅))
13 noel 4062 . . . . . 6 ¬ 𝐾 ∈ ∅
1413pm2.21i 116 . . . . 5 (𝐾 ∈ ∅ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
15 simpl 474 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1614, 15pm5.21ni 366 . . . 4 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ∅ ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
1712, 16bitrd 268 . . 3 (¬ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))))
188, 17pm2.61i 176 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁))))
191, 3, 183bitr4ri 293 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139  c0 4058  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804   × cxp 5264  (class class class)co 6813  cle 10267  cz 11569  ...cfz 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-neg 10461  df-z 11570  df-fz 12520
This theorem is referenced by:  elfz4  12528  elfzuzb  12529  0nelfz1  12553  uzsubsubfz  12556  fzmmmeqm  12567  ssfzunsnext  12579  fzpreddisj  12583  elfz1b  12602  fzp1nel  12617  elfz0ubfz0  12637  elfz0fzfz0  12638  fz0fzelfz0  12639  fz0fzdiffz0  12642  elfzmlbp  12644  preduz  12655  fzoun  12699  fzind2  12780  swrdswrdlem  13659  swrdswrd  13660  swrdccatin12lem2a  13685  swrdccatin12lem2b  13686  swrdccatin2  13687  swrdccatin12lem2  13689  swrdccat3  13692  2cshwcshw  13771  cshwcsh2id  13774  fprodntriv  14871  fprodeq0  14904  prmgaplem4  15960  chfacfscmulgsum  20867  chfacfpmmulgsum  20871  gausslemma2dlem3  25292  2lgslem1a1  25313  crctcshwlkn0lem3  26915  wwlksnextproplem2  27028  clwlksfclwwlkOLD  27216  monoords  40010  uzfissfz  40040  iuneqfzuzlem  40048  ssuzfz  40063  elfzd  40134  fmul01lt1lem1  40319  fmul01lt1lem2  40320  mccllem  40332  sumnnodd  40365  dvnmul  40661  dvnprodlem1  40664  dvnprodlem2  40665  itgspltprt  40698  stoweidlem3  40723  stoweidlem34  40754  stoweidlem51  40771  fourierdlem12  40839  fourierdlem14  40841  fourierdlem41  40868  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem50  40876  fourierdlem79  40905  fourierdlem92  40918  fourierdlem93  40919  elaa2lem  40953  etransclem3  40957  etransclem7  40961  etransclem10  40964  etransclem24  40978  etransclem27  40981  etransclem28  40982  etransclem35  40989  etransclem38  40992  etransclem44  40998  iundjiun  41180  caratheodorylem1  41246  elfzelfzlble  41841  iccpartiltu  41868  pfxccatin12lem1  41933  pfxccatin12lem2  41934  pfxccat3  41936  31prm  42022  nnsum4primeseven  42198  nnsum4primesevenALTV  42199
  Copyright terms: Public domain W3C validator