MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfz1eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfz1eq 12545
Description: Membership in a finite set of sequential integers containing one integer. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfz1eq (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)

Proof of Theorem elfz1eq
StepHypRef Expression
1 elfzle2 12538 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾𝑁)
2 elfzle1 12537 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁𝐾)
3 elfzelz 12535 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4 elfzel2 12533 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
5 zre 11573 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
6 zre 11573 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
7 letri3 10315 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
85, 6, 7syl2an 495 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
93, 4, 8syl2anc 696 . 2 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → (𝐾 = 𝑁 ↔ (𝐾𝑁𝑁𝐾)))
101, 2, 9mpbir2and 995 1 (𝐾 ∈ (𝑁...𝑁) → 𝐾 = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  cle 10267  cz 11569  ...cfz 12519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-neg 10461  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520
This theorem is referenced by:  fzsn  12576  fz1sbc  12609  fzm1  12613  bccl  13303  hashbc  13429  swrdccatin1  13683  sumsnf  14672  sumsn  14674  climcnds  14782  prmind2  15600  3prm  15608  vdwlem8  15894  od1  18176  gex1  18206  frgpnabllem1  18476  ply1termlem  24158  coefv0  24203  coemulc  24210  logtayl  24605  leibpilem2  24867  chp1  25092  chtub  25136  2sqlem10  25352  dchrisum0flb  25398  ostth2lem2  25522  axlowdimlem16  26036  sdclem2  33851  sumsnd  39684  fourierdlem20  40847
  Copyright terms: Public domain W3C validator