Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfm2 21799
 Description: An element of a mapping filter. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elfm2.l 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
Assertion
Ref Expression
elfm2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿   𝑥,𝑌

Proof of Theorem elfm2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfm 21798 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2 ssfg 21723 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵 ⊆ (𝑌filGen𝐵))
3 elfm2.l . . . . . . . . . 10 𝐿 = (𝑌filGen𝐵)
42, 3syl6sseqr 3685 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝐵𝐿)
54sselda 3636 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐿)
65adantrr 753 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
763ad2antl2 1244 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → 𝑦𝐿)
8 simprr 811 . . . . . 6 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)
9 imaeq2 5497 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
109sseq1d 3665 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
1110rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑦𝐿 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
127, 8, 11syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1312rexlimdvaa 3061 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 → ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
143eleq2i 2722 . . . . . . . 8 (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵))
15 elfg 21722 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥 ∈ (𝑌filGen𝐵) ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1614, 15syl5bb 272 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
17163ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 ↔ (𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
18 imass2 5536 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥))
19 sstr2 3643 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2019com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2120ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → ((𝐹𝑦) ⊆ (𝐹𝑥) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2218, 21syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2322reximdv 3045 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2423expr 642 . . . . . . . 8 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2524com23 86 . . . . . . 7 (((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑥𝑌) → (∃𝑦𝐵 𝑦𝑥 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2625expimpd 628 . . . . . 6 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑥𝑌 ∧ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑥) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2717, 26sylbid 230 . . . . 5 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝑥𝐿 → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴)))
2827rexlimdv 3059 . . . 4 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴 → ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴))
2913, 28impbid 202 . . 3 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
3029anbi2d 740 . 2 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝐴𝑋 ∧ ∃𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
311, 30bitrd 268 1 ((𝑋𝐶𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐿 (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   “ cima 5146  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  fBascfbas 19782  filGencfg 19783   FilMap cfm 21784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fm 21789 This theorem is referenced by:  fmfg  21800  elfm3  21801  imaelfm  21802
 Copyright terms: Public domain W3C validator