Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfg 21722
 Description: A condition for elements of a generated filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfg (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem elfg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fgval 21721 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑋filGen𝐹) = {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅})
21eleq2d 2716 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅}))
3 pweq 4194 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → 𝒫 𝑦 = 𝒫 𝐴)
43ineq2d 3847 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) = (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
54neeq1d 2882 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅ ↔ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
65elrab 3396 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅))
7 elfvdm 6258 . . . . 5 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom fBas)
8 elpw2g 4857 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom fBas → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
10 elin 3829 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
11 selpw 4198 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1211anbi2i 730 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐹𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1310, 12bitri 264 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ (𝑥𝐹𝑥𝐴))
1413exbii 1814 . . . . . 6 (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
15 n0 3964 . . . . . 6 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴))
16 df-rex 2947 . . . . . 6 (∃𝑥𝐹 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐹𝑥𝐴))
1714, 15, 163bitr4i 292 . . . . 5 ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)
1817a1i 11 . . . 4 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴))
199, 18anbi12d 747 . . 3 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (𝐹 ∩ 𝒫 𝐴) ≠ ∅) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
206, 19syl5bb 272 . 2 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝐹 ∩ 𝒫 𝑦) ≠ ∅} ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
212, 20bitrd 268 1 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑋) → (𝐴 ∈ (𝑋filGen𝐹) ↔ (𝐴𝑋 ∧ ∃𝑥𝐹 𝑥𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942  {crab 2945   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  fBascfbas 19782  filGencfg 19783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-fg 19792 This theorem is referenced by:  ssfg  21723  fgss  21724  fgss2  21725  fgfil  21726  elfilss  21727  fgcl  21729  fgabs  21730  fgtr  21741  trfg  21742  uffix  21772  elfm  21798  elfm2  21799  elfm3  21801  fbflim  21827  flffbas  21846  fclsbas  21872  isucn2  22130  metust  22410  cfilucfil  22411  metuel  22416  fgcfil  23115  fgmin  32490  filnetlem4  32501
 Copyright terms: Public domain W3C validator