Theorem eleenn 25770

Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eleenn	⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ¬ (𝔼‘𝑁) = ∅)
2		ovex 6675	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)) ∈ V
3		df-ee 25765	. . . . 5 ⊢ 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)))
4	2, 3	dmmpti 6021	. . . 4 ⊢ dom 𝔼 = ℕ
5	4	eleq2i 2692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ dom 𝔼 ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
6		ndmfv 6216	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ dom 𝔼 → (𝔼‘𝑁) = ∅)
7	5, 6	sylnbir 321	. 2 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = ∅)
8	1, 7	nsyl2 142	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∅c0 3913  dom cdm 5112  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647   ↑_𝑚 cmap 7854  ℝcr 9932  1c1 9934  ℕcn 11017  ...cfz 12323  𝔼cee 25762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-fv 5894  df-ov 6650  df-ee 25765

This theorem is referenced by:  eleei  25771  eedimeq  25772  brbtwn  25773  brcgr  25774  eleesub  25785  eleesubd  25786  axsegconlem1  25791  axsegconlem8  25798  axeuclidlem  25836  brsegle  32199