MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eleenn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eleenn 25770
Description: If 𝐴 is in (𝔼‘𝑁), then 𝑁 is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 1-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
eleenn (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eleenn
StepHypRef Expression
1 n0i 3918 . 2 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → ¬ (𝔼‘𝑁) = ∅)
2 ovex 6675 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)) ∈ V
3 df-ee 25765 . . . . 5 𝔼 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (ℝ ↑𝑚 (1...𝑛)))
42, 3dmmpti 6021 . . . 4 dom 𝔼 = ℕ
54eleq2i 2692 . . 3 (𝑁 ∈ dom 𝔼 ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
6 ndmfv 6216 . . 3 𝑁 ∈ dom 𝔼 → (𝔼‘𝑁) = ∅)
75, 6sylnbir 321 . 2 𝑁 ∈ ℕ → (𝔼‘𝑁) = ∅)
81, 7nsyl2 142 1 (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  c0 3913  dom cdm 5112  cfv 5886  (class class class)co 6647  𝑚 cmap 7854  cr 9932  1c1 9934  cn 11017  ...cfz 12323  𝔼cee 25762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-fv 5894  df-ov 6650  df-ee 25765
This theorem is referenced by:  eleei  25771  eedimeq  25772  brbtwn  25773  brcgr  25774  eleesub  25785  eleesubd  25786  axsegconlem1  25791  axsegconlem8  25798  axeuclidlem  25836  brsegle  32199
  Copyright terms: Public domain W3C validator