Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eldmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldmgm 24918
 Description: Elementhood in the set of non-nonpositive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
eldmgm (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))

Proof of Theorem eldmgm
StepHypRef Expression
1 eldif 3713 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)))
2 eldif 3713 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
3 elznn 11556 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0)))
43simprbi 483 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 ∈ ℕ ∨ -𝐴 ∈ ℕ0))
54orcanai 990 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) → -𝐴 ∈ ℕ0)
6 negneg 10494 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
76adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 = 𝐴)
8 nn0negz 11578 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℕ0 → --𝐴 ∈ ℤ)
98adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → --𝐴 ∈ ℤ)
107, 9eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℤ)
1110ex 449 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ))
12 nngt0 11212 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
13 nnre 11190 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1413lt0neg2d 10761 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 𝐴 ↔ -𝐴 < 0))
1512, 14mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 < 0)
1613renegcld 10620 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → -𝐴 ∈ ℝ)
17 0re 10203 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
18 ltnle 10280 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → (-𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -𝐴))
2015, 19mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ 0 ≤ -𝐴)
21 nn0ge0 11481 . . . . . . . . 9 (-𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ -𝐴)
2220, 21nsyl3 133 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ)
2322a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 ∈ ℕ))
2411, 23jcad 556 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ)))
255, 24impbid2 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
262, 25syl5bb 272 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ -𝐴 ∈ ℕ0))
2726notbid 307 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ) ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
2827pm5.32i 672 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
291, 28bitri 264 1 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ -𝐴 ∈ ℕ0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ∖ cdif 3700   class class class wbr 4792  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099   < clt 10237   ≤ cle 10238  -cneg 10430  ℕcn 11183  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541 This theorem is referenced by:  dmgmaddn0  24919  dmlogdmgm  24920  dmgmaddnn0  24923  lgamgulmlem1  24925  lgamucov  24934
 Copyright terms: Public domain W3C validator