Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eldioph4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eldioph4i 37896
 Description: Forward-only version of eldioph4b 37895. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eldioph4b.a 𝑊 ∈ V
eldioph4b.b ¬ 𝑊 ∈ Fin
eldioph4b.c (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
Assertion
Ref Expression
eldioph4i ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑃,𝑤

Proof of Theorem eldioph4i
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq1 3903 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑎 → (𝑡𝑤) = (𝑎𝑤))
21fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑎 → (𝑃‘(𝑡𝑤)) = (𝑃‘(𝑎𝑤)))
32eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑎 → ((𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
43rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0))
5 uneq2 3904 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑏 → (𝑎𝑤) = (𝑎𝑏))
65fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑏 → (𝑃‘(𝑎𝑤)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
76eqeq1d 2762 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
87cbvrexv 3311 . . . . . 6 (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0)
94, 8syl6bb 276 . . . . 5 (𝑡 = 𝑎 → (∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
109cbvrabv 3339 . . . 4 {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}
11 fveq1 6352 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝‘(𝑎𝑏)) = (𝑃‘(𝑎𝑏)))
1211eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ (𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1312rexbidv 3190 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0 ↔ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0))
1413rabbidv 3329 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0})
1514eqeq2d 2770 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0} ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}))
1615rspcev 3449 . . . 4 ((𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑎𝑏)) = 0}) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1710, 16mpan2 709 . . 3 (𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))) → ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0})
1817anim2i 594 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
19 eldioph4b.a . . 3 𝑊 ∈ V
20 eldioph4b.b . . 3 ¬ 𝑊 ∈ Fin
21 eldioph4b.c . . 3 (𝑊 ∩ ℕ) = ∅
2219, 20, 21eldioph4b 37895 . 2 ({𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∃𝑝 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁))){𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑝‘(𝑎𝑏)) = 0}))
2318, 22sylibr 224 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ (mzPoly‘(𝑊 ∪ (1...𝑁)))) → {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑤 ∈ (ℕ0𝑚 𝑊)(𝑃‘(𝑡𝑤)) = 0} ∈ (Dioph‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123  0cc0 10148  1c1 10149  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ...cfz 12539  mzPolycmzp 37805  Diophcdioph 37838 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-hash 13332  df-mzpcl 37806  df-mzp 37807  df-dioph 37839 This theorem is referenced by:  diophren  37897
 Copyright terms: Public domain W3C validator