MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elbl4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elbl4 22415
Description: Membership in a ball, alternative definition. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
elbl4 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))

Proof of Theorem elbl4
StepHypRef Expression
1 rpxr 11878 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2 blcomps 22245 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
31, 2sylanl2 684 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅)))
4 simpll 805 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
5 simprr 811 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝐵𝑋)
6 simplr 807 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
7 blval2 22414 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) = ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}))
87eleq2d 2716 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐵𝑋𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
94, 5, 6, 8syl3anc 1366 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ (𝐵(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵})))
10 elimasng 5526 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅))))
11 df-br 4686 . . . . 5 (𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴 ↔ ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ (𝐷 “ (0[,)𝑅)))
1210, 11syl6bbr 278 . . . 4 ((𝐵𝑋𝐴𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1312ancoms 468 . . 3 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
1413adantl 481 . 2 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴 ∈ ((𝐷 “ (0[,)𝑅)) “ {𝐵}) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
153, 9, 143bitrd 294 1 (((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐵 ∈ (𝐴(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐵(𝐷 “ (0[,)𝑅))𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  {csn 4210  cop 4216   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  *cxr 10111  +crp 11870  [,)cico 12215  PsMetcpsmet 19778  ballcbl 19781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-psmet 19786  df-bl 19789
This theorem is referenced by:  metucn  22423
  Copyright terms: Public domain W3C validator