Theorem elbl 22365

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 2-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elbl	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Proof of Theorem elbl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval 22363	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅})
2	1	eleq2d 2813	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅}))
3		oveq2 6809	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑃𝐷𝑥) = (𝑃𝐷𝐴))
4	3	breq1d 4802	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑃𝐷𝑥) < 𝑅 ↔ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
5	4	elrab 3492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑥) < 𝑅} ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅))
6	2, 5	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑅) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑃𝐷𝐴) < 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {crab 3042   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝ^*cxr 10236   < clt 10237  ∞Metcxmt 19904  ballcbl 19906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-map 8013  df-xr 10241  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-bl 19914

This theorem is referenced by:  elbl2  22367  xblpnf  22373  bldisj  22375  blgt0  22376  xblss2  22379  blhalf  22382  xblcntr  22388  xbln0  22391  blin  22398  blss  22402  blres  22408  imasf1obl  22465  prdsbl  22468  blcls  22483  metcnp  22518  dscopn  22550  cnbl0  22749  bl2ioo  22767  blcvx  22773  xrsmopn  22787  recld2  22789  cnheibor  22926  nmhmcn  23091  lmmbr2  23228  iscau2  23246  dvlip2  23928  psercn  24350  abelth  24365  logtayl  24576  logtayl2  24578  poimirlem29  33720  heicant  33726  iooabslt  40193  limcrecl  40333  islpcn  40343  qndenserrnbllem  40986