MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 24518
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 15018 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6 cnfldbas 19965 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subgss 17803 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
98sselda 3752 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 10262 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
112, 10ffvelrnd 6503 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
1211ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1413rnmptss 6534 . . 3 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
163mul01d 10437 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
1716fveq2d 6336 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18 ef0 15027 . . . 4 (exp‘0) = 1
1917, 18syl6eq 2821 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20 cnfld0 19985 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
2120subg0cl 17810 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6342 . . . 4 (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
2524fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5511 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 574 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2851 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 24517 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 18405 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1131 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3635, 6mgpbas 18703 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
3729, 36ressbas2 16138 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39383ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
4034, 39eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2852 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4543, 44grpcl 17638 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
47 mptexg 6628 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
485, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
4913, 48syl5eqel 2854 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
50 rnexg 7245 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
51 cnfldmul 19967 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
5235, 51mgpplusg 18701 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5329, 52ressplusg 16201 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
5449, 50, 533syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → · = (+g𝐺))
55543ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g𝐺))
5655oveqd 6810 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
5746, 56, 393eltr4d 2865 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
58573expb 1113 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5958ralrimivva 3120 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
60 cnring 19983 . . 3 fld ∈ Ring
6135ringmgp 18761 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
62 cnfld1 19986 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
6335, 62ringidval 18711 . . . 4 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6436, 63, 52issubm 17555 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6560, 61, 64mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6615, 28, 59, 65syl3anbrc 1428 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  cmpt 4863  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  expce 14998  Basecbs 16064  s cress 16065  +gcplusg 16149  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Abelcabl 18401  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  circsubm  24520
  Copyright terms: Public domain W3C validator