MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efopnlem2 24448
Description: Lemma for efopn 24449. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
efopnlem2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem efopnlem2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 24356 . . . . . . . 8 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
2 f1orn 6185 . . . . . . . . 9 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log ↔ (log Fn (ℂ ∖ {0}) ∧ Fun log))
32simprbi 479 . . . . . . . 8 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → Fun log)
4 funcnvres 6005 . . . . . . . 8 (Fun log → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
51, 3, 4mp2b 10 . . . . . . 7 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
6 df-log 24348 . . . . . . . . . 10 log = (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π)))
76cnveqi 5329 . . . . . . . . 9 log = (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π)))
8 relres 5461 . . . . . . . . . 10 Rel (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π)))
9 dfrel2 5618 . . . . . . . . . 10 (Rel (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) ↔ (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) = (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))))
108, 9mpbi 220 . . . . . . . . 9 (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) = (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π)))
117, 10eqtri 2673 . . . . . . . 8 log = (exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π)))
1211reseq1i 5424 . . . . . . 7 (log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = ((exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
13 imassrn 5512 . . . . . . . . 9 (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ ran log
14 logrn 24350 . . . . . . . . 9 ran log = (ℑ “ (-π(,]π))
1513, 14sseqtri 3670 . . . . . . . 8 (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π))
16 resabs1 5462 . . . . . . . 8 ((log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ (ℑ “ (-π(,]π)) → ((exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp ↾ (ℑ “ (-π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
185, 12, 173eqtri 2677 . . . . . 6 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
1918imaeq1i 5498 . . . . 5 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
20 cnxmet 22623 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
22 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → 0 ∈ ℂ)
23 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → 𝑅 ∈ ℝ*)
25 blssm 22270 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2621, 22, 24, 25syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
2726sselda 3636 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2827imcld 13979 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
29 efopnlem1 24447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) < π)
30 pire 24255 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
31 abslt 14098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝑥)) < π ↔ (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
3228, 30, 31sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘(ℑ‘𝑥)) < π ↔ (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
3329, 32mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (-π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
3433simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → -π < (ℑ‘𝑥))
3533simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) < π)
3630renegcli 10380 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
3736rexri 10135 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
3830rexri 10135 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ*
39 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . 12 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
4037, 38, 39mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 ((ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π) ↔ ((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
4128, 34, 35, 40syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))
42 imf 13897 . . . . . . . . . . 11 ℑ:ℂ⟶ℝ
43 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
44 elpreima 6377 . . . . . . . . . . 11 (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π))))
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ (-π(,)π)))
4627, 41, 45sylanbrc 699 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π)))
4746ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → 𝑥 ∈ (ℑ “ (-π(,)π))))
4847ssrdv 3642 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (ℑ “ (-π(,)π)))
49 df-ima 5156 . . . . . . . 8 (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
50 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
5150logf1o2 24441 . . . . . . . . 9 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))–1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π))
52 f1ofo 6182 . . . . . . . . 9 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))–1-1-onto→(ℑ “ (-π(,)π)) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))–onto→(ℑ “ (-π(,)π)))
53 forn 6156 . . . . . . . . 9 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))–onto→(ℑ “ (-π(,)π)) → ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (ℑ “ (-π(,)π)))
5451, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . 8 ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (ℑ “ (-π(,)π))
5549, 54eqtri 2673 . . . . . . 7 (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (ℑ “ (-π(,)π))
5648, 55syl6sseqr 3685 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
57 resima2 5467 . . . . . 6 ((0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
5856, 57syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
5919, 58syl5eq 2697 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
6050logcn 24438 . . . . . 6 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
61 difss 3770 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
62 ssid 3657 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
63 efopn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
64 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
6563cnfldtop 22634 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ Top
6663cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . 12 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
6766toponunii 20769 . . . . . . . . . . 11 ℂ = 𝐽
6867restid 16141 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ℂ) = 𝐽)
6965, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐽t ℂ) = 𝐽
7069eqcomi 2660 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐽t ℂ)
7163, 64, 70cncfcn 22759 . . . . . . 7 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽))
7261, 62, 71mp2an 708 . . . . . 6 ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
7360, 72eleqtri 2728 . . . . 5 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
7463cnfldtopn 22632 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
7574blopn 22352 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽)
7621, 22, 24, 75syl3anc 1366 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽)
77 cnima 21117 . . . . 5 (((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
7873, 76, 77sylancr 696 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
7959, 78eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8050logdmopn 24440 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
8180, 63eleqtrri 2729 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ 𝐽
82 restopn2 21029 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ 𝐽) → ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
8365, 81, 82mp2an 708 . . 3 ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8479, 83sylib 208 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
8584simpld 474 1 ((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  Rel wrel 5148  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304  -cneg 10305  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  cim 13882  abscabs 14018  expce 14836  πcpi 14841  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  ballcbl 19781  fldccnfld 19794  Topctop 20746   Cn ccn 21076  cnccncf 22726  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  efopn  24449
  Copyright terms: Public domain W3C validator