MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eflegeo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eflegeo 15079
Description: The exponential function on the reals between 0 and 1 lies below the comparable geometric series sum. (Contributed by Paul Chapman, 11-Sep-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eflegeo.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eflegeo.2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
eflegeo.3 (𝜑𝐴 < 1)
Assertion
Ref Expression
eflegeo (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))

Proof of Theorem eflegeo
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11946 . . 3 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11613 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 eqid 2774 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
43eftval 15035 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
54adantl 468 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
6 eflegeo.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 reeftcl 15033 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
86, 7sylan 570 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9 oveq2 6820 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
10 eqid 2774 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
11 ovex 6844 . . . . 5 (𝐴𝑘) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6441 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
1312adantl 468 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
14 reexpcl 13106 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
156, 14sylan 570 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
16 faccl 13296 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1716adantl 468 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
1817nnred 11258 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
196adantr 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 simpr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21 eflegeo.2 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
2221adantr 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
2319, 20, 22expge0d 13255 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
2417nnge1d 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (!‘𝑘))
2515, 18, 23, 24lemulge12d 11185 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘)))
2617nngt0d 11287 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
27 ledivmul 11122 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2815, 15, 18, 26, 27syl112anc 1483 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘) ↔ (𝐴𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝐴𝑘))))
2925, 28mpbird 248 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ (𝐴𝑘))
306recnd 10291 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
313efcllem 15036 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
3230, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
336, 21absidd 14391 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝐴) = 𝐴)
34 eflegeo.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 1)
3533, 34eqbrtrd 4819 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
3630, 35, 13geolim 14830 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)))
37 seqex 13032 . . . . 5 seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ V
38 ovex 6844 . . . . 5 (1 / (1 − 𝐴)) ∈ V
3937, 38breldm 5479 . . . 4 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ (1 / (1 − 𝐴)) → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
4036, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))) ∈ dom ⇝ )
411, 2, 5, 8, 13, 15, 29, 32, 40isumle 14805 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
42 efval 15038 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
4330, 42syl 17 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
44 expcl 13107 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4530, 44sylan 570 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
461, 2, 13, 45, 36isumclim 14718 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘) = (1 / (1 − 𝐴)))
4746eqcomd 2780 . 2 (𝜑 → (1 / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐴𝑘))
4841, 43, 473brtr4d 4829 1 (𝜑 → (exp‘𝐴) ≤ (1 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148   class class class wbr 4797  cmpt 4876  dom cdm 5263  cfv 6042  (class class class)co 6812  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162   · cmul 10164   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489   / cdiv 10907  cn 11243  0cn0 11516  seqcseq 13030  cexp 13089  !cfa 13286  abscabs 14204  cli 14445  Σcsu 14646  expce 15020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-pm 8033  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-rp 12053  df-ico 12405  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-fac 13287  df-hash 13344  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15026
This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24922  logdiflbnd  24963  emcllem2  24965
  Copyright terms: Public domain W3C validator