MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 24490
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto𝐶
Distinct variable group:   𝑧,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2 ax-icn 10185 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10216 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4 mulcl 10210 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6 efcl 15010 . . . . . . 7 ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8 absefi 15123 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9 absf 14274 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
10 ffn 6204 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11 fniniseg 6499 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 701 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐶 = (abs “ {1})
1513, 14syl6eleqr 2848 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
161, 15fmpti 6544 . . 3 𝐹:ℝ⟶𝐶
17 ffn 6204 . . 3 (𝐹:ℝ⟶𝐶𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6212 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹𝐶)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹𝐶
21 df-ima 5277 . . . . 5 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
221reseq1i 5545 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23 0xr 10276 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 11280 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 24407 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
2624, 25remulcli 10244 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℝ
27 elioc2 12427 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π))))
2823, 26, 27mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π)))
2928simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3746 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31 resmpt 5605 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3322, 32eqtri 2780 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3433rneqi 5505 . . . . . 6 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35 0re 10230 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3726recni 10242 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
3837addid2i 10414 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 · π)) = (2 · π)
3938oveq2i 6822 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
4039eqcomi 2767 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
4136, 14, 40efif1o 24489 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶
43 f1ofo 6303 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶)
44 forn 6277 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
4634, 45eqtri 2780 . . . . 5 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
4721, 46eqtri 2780 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48 imassrn 5633 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
4947, 48eqsstr3i 3775 . . 3 𝐶 ⊆ ran 𝐹
5020, 49eqssi 3758 . 2 ran 𝐹 = 𝐶
51 df-fo 6053 . 2 (𝐹:ℝ–onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
5218, 50, 51mpbir2an 993 1 𝐹:ℝ–onto𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wss 3713  {csn 4319   class class class wbr 4802  cmpt 4879  ccnv 5263  ran crn 5265  cres 5266  cima 5267   Fn wfn 6042  wf 6043  ontowfo 6045  1-1-ontowf1o 6046  cfv 6047  (class class class)co 6811  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127  ici 10128   + caddc 10129   · cmul 10131  *cxr 10263   < clt 10264  cle 10265  2c2 11260  (,]cioc 12367  abscabs 14171  expce 14989  πcpi 14994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-mulg 17740  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828
This theorem is referenced by:  circgrp  24495  circsubm  24496  circtopn  30211  circcn  30212
  Copyright terms: Public domain W3C validator