Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem4 24461
 Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length 2π one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efif1o.1 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2 𝐶 = (abs “ {1})
efif1olem4.3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
efif1olem4.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
efif1olem4.5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
efif1olem4.6 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem4 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝑆,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑧)   𝑆(𝑥,𝑤)   𝐹(𝑧,𝑤)

Proof of Theorem efif1olem4
StepHypRef Expression
1 efif1olem4.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
21sselda 3732 . . . . 5 ((𝜑𝑤𝐷) → 𝑤 ∈ ℝ)
3 ax-icn 10158 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 recn 10189 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ → 𝑤 ∈ ℂ)
5 mulcl 10183 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ → (i · 𝑤) ∈ ℂ)
7 efcl 14983 . . . . . . . 8 ((i · 𝑤) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ)
9 absefi 15096 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)
10 absf 14247 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
11 ffn 6194 . . . . . . . . 9 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 abs Fn ℂ
13 fniniseg 6489 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1)))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑤)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑤))) = 1))
158, 9, 14sylanbrc 701 . . . . . 6 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ (abs “ {1}))
16 efif1o.2 . . . . . 6 𝐶 = (abs “ {1})
1715, 16syl6eleqr 2838 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
182, 17syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐷) → (exp‘(i · 𝑤)) ∈ 𝐶)
19 efif1o.1 . . . 4 𝐹 = (𝑤𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
2018, 19fmptd 6536 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷𝐶)
211ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
22 simplrl 819 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥𝐷)
2321, 22sseldd 3733 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2423recnd 10231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 ∈ ℂ)
25 simplrr 820 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦𝐷)
2621, 25sseldd 3733 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726recnd 10231 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
2824, 27subcld 10555 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) ∈ ℂ)
29 2re 11253 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
30 pire 24380 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
3129, 30remulcli 10217 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
3231recni 10215 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ∈ ℂ
33 2pos 11275 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
34 pipos 24382 . . . . . . . . . . . 12 0 < π
3529, 30, 33, 34mulgt0ii 10333 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
3631, 35gt0ne0ii 10727 . . . . . . . . . 10 (2 · π) ≠ 0
37 divcl 10854 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3832, 36, 37mp3an23 1553 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℂ)
40 absdiv 14205 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4132, 36, 40mp3an23 1553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
4228, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))))
43 0re 10203 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
4443, 31, 35ltleii 10323 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 · π)
45 absid 14206 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · π)) → (abs‘(2 · π)) = (2 · π))
4631, 44, 45mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘(2 · π)) = (2 · π)
4746oveq2i 6812 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑥𝑦)) / (abs‘(2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π))
4842, 47syl6eq 2798 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)))
49 efif1olem4.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < (2 · π))
5132mulid1i 10205 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · π) · 1) = (2 · π)
5250, 51syl6breqr 4834 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1))
5328abscld 14345 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ)
54 1re 10202 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
5531, 35pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))
56 ltdivmul 11061 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((2 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · π))) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5754, 55, 56mp3an23 1553 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝑥𝑦)) ∈ ℝ → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5853, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1 ↔ (abs‘(𝑥𝑦)) < ((2 · π) · 1)))
5952, 58mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) / (2 · π)) < 1)
6048, 59eqbrtrd 4814 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1)
6132, 36pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
62 ine0 10628 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ≠ 0
633, 62pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
64 divcan5 10890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6561, 63, 64mp3an23 1553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
6628, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) = ((𝑥𝑦) / (2 · π)))
673a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → i ∈ ℂ)
6867, 24, 27subdid 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) = ((i · 𝑥) − (i · 𝑦)))
6968fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))))
70 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
713, 24, 70sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
72 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
733, 27, 72sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
74 efsub 15000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((i · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
7571, 73, 74syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘((i · 𝑥) − (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))))
76 efcl 14983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
7773, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
78 efne0 14997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
7973, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑦)) ≠ 0)
80 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
81 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → (i · 𝑤) = (i · 𝑥))
8281fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑥 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑥)))
83 fvex 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
8482, 19, 83fvmpt 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐷 → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
8522, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑥) = (exp‘(i · 𝑥)))
86 oveq2 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑦 → (i · 𝑤) = (i · 𝑦))
8786fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑤)) = (exp‘(i · 𝑦)))
88 fvex 6350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(i · 𝑦)) ∈ V
8987, 19, 88fvmpt 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐷 → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9025, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
9180, 85, 903eqtr3d 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
9277, 79, 91diveq1bd 11012 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · 𝑥)) / (exp‘(i · 𝑦))) = 1)
9369, 75, 923eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1)
94 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℂ) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
953, 28, 94sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ)
96 efeq1 24445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i · (𝑥𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((exp‘(i · (𝑥𝑦))) = 1 ↔ ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
9893, 97mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((i · (𝑥𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ)
9966, 98eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
100 nn0abscl 14222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0)
102 nn0lt10b 11602 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) ∈ ℕ0 → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) < 1 ↔ (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0))
10460, 103mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (abs‘((𝑥𝑦) / (2 · π))) = 0)
10539, 104abs00d 14355 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → ((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0)
106 diveq0 10858 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑦) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10732, 36, 106mp3an23 1553 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑦) ∈ ℂ → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
10828, 107syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (((𝑥𝑦) / (2 · π)) = 0 ↔ (𝑥𝑦) = 0))
109105, 108mpbid 222 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → (𝑥𝑦) = 0)
11024, 27, 109subeq0d 10563 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) ∧ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
111110ex 449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
112111ralrimivva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
113 dff13 6663 . . 3 (𝐹:𝐷1-1𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
11420, 112, 113sylanbrc 701 . 2 (𝜑𝐹:𝐷1-1𝐶)
115 neghalfpire 24387 . . . . . . . . 9 -(π / 2) ∈ ℝ
116 halfpire 24386 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℝ
117 iccssre 12419 . . . . . . . . 9 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ)
118115, 116, 117mp2an 710 . . . . . . . 8 (-(π / 2)[,](π / 2)) ⊆ ℝ
11919, 16efif1olem3 24460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))
120 resinf1o 24452 . . . . . . . . . . . 12 (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
121 efif1olem4.6 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))
122 f1oeq1 6276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))) → (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)))
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ↔ (sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2))):(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1))
124120, 123mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1)
125 f1ocnv 6298 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) → 𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)))
126 f1of 6286 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(-1[,]1)–1-1-onto→(-(π / 2)[,](π / 2)) → 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2)))
127124, 125, 126mp2b 10 . . . . . . . . . 10 𝑆:(-1[,]1)⟶(-(π / 2)[,](π / 2))
128127ffvelrni 6509 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
129119, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)))
130118, 129sseldi 3730 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ)
131 remulcl 10184 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℝ) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
13229, 130, 131sylancr 698 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
133 efif1olem4.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
134133ralrimiva 3092 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
135134adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
136 oveq1 6808 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (𝑧𝑦) = ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))
137136oveq1d 6816 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
138137eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
139138rexbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑧 = (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) → (∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
140139rspcv 3433 . . . . . 6 ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ → (∀𝑧 ∈ ℝ ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
141132, 135, 140sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
142 oveq1 6808 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))))
1433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → i ∈ ℂ)
144132adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
145144recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1461ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐷 ⊆ ℝ)
147 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
148146, 147sseldd 3733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℝ)
149148recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
150143, 145, 149subdid 10649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) = ((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)))
151150oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)))
152 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1533, 145, 152sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) ∈ ℂ)
1543, 149, 72sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
155153, 154npcand 10559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) − (i · 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
156151, 155eqtrd 2782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦)) = (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
157156fveq2d 6344 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
158145, 149subcld 10555 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ)
159 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
1603, 158, 159sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ)
161 efadd 14994 . . . . . . . . . . 11 (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
162160, 154, 161syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) + (i · 𝑦))) = ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))))
163130recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ)
164 2cn 11254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
165 mul12 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
1663, 164, 165mp3an12 1551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
167163, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))))
168167fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
169 mulcl 10183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
1703, 163, 169sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
171 2z 11572 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
172 efexp 15001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℤ) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
173170, 171, 172sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(2 · (i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
174168, 173eqtrd 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2))
175130recoscld 15044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℝ)
176 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
177176, 16syl6eleq 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ (abs “ {1}))
178 fniniseg 6489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
17912, 178ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
180177, 179sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
181180simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
182181sqrtcld 14346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
183182recld 14104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
184 cosq14ge0 24433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
185129, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
186181sqrtrege0d 14347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝑥)))
187 sincossq 15076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
188163, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = 1)
189181sqsqrtd 14348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
190189fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
191 2nn0 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ0
192 absexp 14214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
193182, 191, 192sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
194180simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
195190, 193, 1943eqtr3d 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
196182absvalsq2d 14352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
197188, 195, 1963eqtr2d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → (((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = (((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
198121fveq1i 6341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))
199 fvres 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ (-(π / 2)[,](π / 2)) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
200129, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin ↾ (-(π / 2)[,](π / 2)))‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
201198, 200syl5eq 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))
202 f1ocnvfv2 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑆:(-(π / 2)[,](π / 2))–1-1-onto→(-1[,]1) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1)) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
203124, 119, 202sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
204201, 203eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℑ‘(√‘𝑥)))
205204oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2))
206197, 205oveq12d 6819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)))
207163sincld 15030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
208207sqcld 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
209163coscld 15031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) ∈ ℂ)
210209sqcld 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) ∈ ℂ)
211208, 210pncan2d 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) + ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) − ((sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2)) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2))
212183recnd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (ℜ‘(√‘𝑥)) ∈ ℂ)
213212sqcld 13171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
214205, 208eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2) ∈ ℂ)
215213, 214pncand 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((ℜ‘(√‘𝑥))↑2) + ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) − ((ℑ‘(√‘𝑥))↑2)) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
216206, 211, 2153eqtr3d 2790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))↑2) = ((ℜ‘(√‘𝑥))↑2))
217175, 183, 185, 186, 216sq11d 13210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) = (ℜ‘(√‘𝑥)))
218204oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (i · (ℑ‘(√‘𝑥))))
219217, 218oveq12d 6819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
220 efival 15052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ∈ ℂ → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
221163, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = ((cos‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) + (i · (sin‘(𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))))
222182replimd 14107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (√‘𝑥) = ((ℜ‘(√‘𝑥)) + (i · (ℑ‘(√‘𝑥)))))
223219, 221, 2223eqtr4d 2792 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥))))) = (√‘𝑥))
224223oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → ((exp‘(i · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))↑2) = ((√‘𝑥)↑2))
225174, 224, 1893eqtrd 2786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
226225adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · (2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))))) = 𝑥)
227157, 162, 2263eqtr3d 2790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = 𝑥)
228154, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
229228mulid2d 10221 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (1 · (exp‘(i · 𝑦))) = (exp‘(i · 𝑦)))
230227, 229eqeq12d 2763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) · (exp‘(i · 𝑦))) = (1 · (exp‘(i · 𝑦))) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
231142, 230syl5ib 234 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 → 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
232 efeq1 24445 . . . . . . . . 9 ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
233160, 232syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1 ↔ ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
234 divcan5 10890 . . . . . . . . . . 11 ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
23561, 63, 234mp3an23 1553 . . . . . . . . . 10 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) ∈ ℂ → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
236158, 235syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) = (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)))
237236eleq1d 2812 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (((i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦)) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ))
238233, 237bitr2d 269 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ (exp‘(i · ((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦))) = 1))
23989adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) = (exp‘(i · 𝑦)))
240239eqeq2d 2758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = (exp‘(i · 𝑦))))
241231, 238, 2403imtr4d 283 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → 𝑥 = (𝐹𝑦)))
242241reximdva 3143 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (∃𝑦𝐷 (((2 · (𝑆‘(ℑ‘(√‘𝑥)))) − 𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
243141, 242mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → ∃𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
244243ralrimiva 3092 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦))
245 dffo3 6525 . . 3 (𝐹:𝐷onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷𝐶 ∧ ∀𝑥𝐶𝑦𝐷 𝑥 = (𝐹𝑦)))
24620, 244, 245sylanbrc 701 . 2 (𝜑𝐹:𝐷onto𝐶)
247 df-f1o 6044 . 2 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹:𝐷1-1𝐶𝐹:𝐷onto𝐶))
248114, 246, 247sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹:𝐷1-1-onto𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ∃wrex 3039   ⊆ wss 3703  {csn 4309   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  ◡ccnv 5253   ↾ cres 5256   “ cima 5257   Fn wfn 6032  ⟶wf 6033  –1-1→wf1 6034  –onto→wfo 6035  –1-1-onto→wf1o 6036  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100  ici 10101   + caddc 10102   · cmul 10104   < clt 10237   ≤ cle 10238   − cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  2c2 11233  ℕ0cn0 11455  ℤcz 11540  [,]cicc 12342  ↑cexp 13025  ℜcre 14007  ℑcim 14008  √csqrt 14143  abscabs 14144  expce 14962  sincsin 14964  cosccos 14965  πcpi 14967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801 This theorem is referenced by:  efif1o  24462  eff1olem  24464
 Copyright terms: Public domain W3C validator