Theorem efif1olem3 24460

Description: Lemma for efif1o 24462. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐷 ↦ (exp‘(i · 𝑤)))
efif1o.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efif1olem3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑤,𝑥   𝑤,𝐷,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem efif1olem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
2		efif1o.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
3	1, 2	syl6eleq 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (◡abs “ {1}))
4		absf 14247	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
5		ffn 6194	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
6		fniniseg 6489	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1)))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (◡abs “ {1}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
8	3, 7	sylib 208	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝑥) = 1))
9	8	simpld 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	9	sqrtcld 14346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
11	10	imcld 14105	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
12		absimle 14219	. . . . . 6 ⊢ ((√‘𝑥) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
14	9	sqsqrtd 14348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((√‘𝑥)↑2) = 𝑥)
15	14	fveq2d 6344	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = (abs‘𝑥))
16		2nn0 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
17		absexp 14214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
18	10, 16, 17	sylancl 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘((√‘𝑥)↑2)) = ((abs‘(√‘𝑥))↑2))
19	8	simprd 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘𝑥) = 1)
20	15, 18, 19	3eqtr3d 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = 1)
21		sq1 13123	. . . . . . 7 ⊢ (1↑2) = 1
22	20, 21	syl6eqr 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2))
23	10	abscld 14345	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ)
24	10	absge0d 14353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥)))
25		1re 10202	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
26		0le1 10714	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
27		sq11 13101	. . . . . . . 8 ⊢ ((((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
28	25, 26, 27	mpanr12 723	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(√‘𝑥))) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
29	23, 24, 28	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (((abs‘(√‘𝑥))↑2) = (1↑2) ↔ (abs‘(√‘𝑥)) = 1))
30	22, 29	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(√‘𝑥)) = 1)
31	13, 30	breqtrd 4818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1)
32		absle 14225	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
33	11, 25, 32	sylancl 697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((abs‘(ℑ‘(√‘𝑥))) ≤ 1 ↔ (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)))
34	31, 33	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (-1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
35	34	simpld 477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)))
36	34	simprd 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1)
37		neg1rr 11288	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℝ
38	37, 25	elicc2i 12403	. 2 ⊢ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1) ↔ ((ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ -1 ≤ (ℑ‘(√‘𝑥)) ∧ (ℑ‘(√‘𝑥)) ≤ 1))
39	11, 35, 36, 38	syl3anbrc 1407	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (ℑ‘(√‘𝑥)) ∈ (-1[,]1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {csn 4309   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  ^◡ccnv 5253   “ cima 5257   Fn wfn 6032  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100  ici 10101   · cmul 10104   ≤ cle 10238  -cneg 10430  2c2 11233  ℕ₀cn0 11455  [,]cicc 12342  ↑cexp 13025  ℑcim 14008  √csqrt 14143  abscabs 14144  expce 14962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-icc 12346  df-seq 12967  df-exp 13026  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146

This theorem is referenced by:  efif1olem4  24461