MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efif1olem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efif1olem2 24459
Description: Lemma for efif1o 24462. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
efif1olem1.1 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
Assertion
Ref Expression
efif1olem2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑦,𝐴   𝑦,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem efif1olem2
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 2re 11253 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 pire 24380 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
42, 3remulcli 10217 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ
5 readdcl 10182 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ)
7 resubcl 10508 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℝ)
8 2pos 11275 . . . . . . . 8 0 < 2
9 pipos 24382 . . . . . . . 8 0 < π
102, 3, 8, 9mulgt0ii 10333 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
114, 10elrpii 11999 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℝ+
12 modcl 12837 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
137, 11, 12sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ∈ ℝ)
146, 13resubcld 10621 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ)
154a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℝ)
16 modlt 12844 . . . . . . 7 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
177, 11, 16sylancl 697 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) < (2 · π))
1813, 15, 1, 17ltadd2dd 10359 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)))
191, 13, 6ltaddsubd 10790 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) < (𝐴 + (2 · π)) ↔ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
2018, 19mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))))
21 modge0 12843 . . . . . 6 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
227, 11, 21sylancl 697 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))
236, 13subge02d 10782 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (0 ≤ ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) ↔ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π))))
2422, 23mpbid 222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))
25 rexr 10248 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2625adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
27 elioc2 12400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2826, 6, 27syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))) ↔ (((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 < ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∧ ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ≤ (𝐴 + (2 · π)))))
2914, 20, 24, 28mpbir3and 1406 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ (𝐴(,](𝐴 + (2 · π))))
30 efif1olem1.1 . . 3 𝐷 = (𝐴(,](𝐴 + (2 · π)))
3129, 30syl6eleqr 2838 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷)
32 modval 12835 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
337, 11, 32sylancl 697 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) mod (2 · π)) = ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
3433oveq2d 6817 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
356recnd 10231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴 + (2 · π)) ∈ ℂ)
367recnd 10231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐴𝑧) ∈ ℂ)
374, 10gt0ne0ii 10727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · π) ≠ 0
38 redivcl 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑧) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ ∧ (2 · π) ≠ 0) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
394, 37, 38mp3an23 1553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑧) ∈ ℝ → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
407, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴𝑧) / (2 · π)) ∈ ℝ)
4140flcld 12764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ)
4241zred 11645 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ)
43 remulcl 10184 . . . . . . . . . . 11 (((2 · π) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
444, 42, 43sylancr 698 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℝ)
4544recnd 10231 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
4635, 36, 45subsubd 10583 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))) = (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
471recnd 10231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
484recni 10215 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℂ
4948a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (2 · π) ∈ ℂ)
50 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
5150recnd 10231 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
5247, 49, 51pnncand 10594 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) = ((2 · π) + 𝑧))
5352oveq1d 6816 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((𝐴 + (2 · π)) − (𝐴𝑧)) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5434, 46, 533eqtrd 2786 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) = (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
5554oveq2d 6817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
56 addcl 10181 . . . . . . . 8 (((2 · π) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5748, 51, 56sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) + 𝑧) ∈ ℂ)
5851, 57, 45subsub4d 10586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (𝑧 − (((2 · π) + 𝑧) + ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))))
5957, 51negsubdi2d 10571 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)))
6049, 51pncand 10556 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = (2 · π))
6160negeqd 10438 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -(((2 · π) + 𝑧) − 𝑧) = -(2 · π))
6259, 61eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = -(2 · π))
63 neg1cn 11287 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
6448mulm1i 10638 . . . . . . . . . 10 (-1 · (2 · π)) = -(2 · π)
6563, 48, 64mulcomli 10210 . . . . . . . . 9 ((2 · π) · -1) = -(2 · π)
6662, 65syl6eqr 2800 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) = ((2 · π) · -1))
6766oveq1d 6816 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
6863a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℂ)
6941zcnd 11646 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℂ)
7049, 68, 69subdid 10649 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = (((2 · π) · -1) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7167, 70eqtr4d 2785 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((2 · π) + 𝑧)) − ((2 · π) · (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7255, 58, 713eqtr2d 2788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) = ((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))))
7372oveq1d 6816 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)))
74 neg1z 11576 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
75 zsubcl 11582 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))) ∈ ℤ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7674, 41, 75sylancr 698 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℤ)
7776zcnd 11646 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ)
78 divcan3 10874 . . . . . 6 (((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
7948, 37, 78mp3an23 1553 . . . . 5 ((-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))) ∈ ℂ → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8077, 79syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · π) · (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π))))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8173, 80eqtrd 2782 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) = (-1 − (⌊‘((𝐴𝑧) / (2 · π)))))
8281, 76eqeltrd 2827 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ)
83 oveq2 6809 . . . . 5 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (𝑧𝑦) = (𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))))
8483oveq1d 6816 . . . 4 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → ((𝑧𝑦) / (2 · π)) = ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)))
8584eleq1d 2812 . . 3 (𝑦 = ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) → (((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ ↔ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ))
8685rspcev 3437 . 2 ((((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π))) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑧 − ((𝐴 + (2 · π)) − ((𝐴𝑧) mod (2 · π)))) / (2 · π)) ∈ ℤ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
8731, 82, 86syl2anc 696 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ∃𝑦𝐷 ((𝑧𝑦) / (2 · π)) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   · cmul 10104  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  -cneg 10430   / cdiv 10847  2c2 11233  cz 11540  +crp 11996  (,]cioc 12340  cfl 12756   mod cmo 12833  πcpi 14967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801
This theorem is referenced by:  efif1o  24462  eff1o  24465
  Copyright terms: Public domain W3C validator