MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efiatan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efiatan2 24843
Description: Value of the exponential of an artcangent. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
efiatan2 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))

Proof of Theorem efiatan2
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10187 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 atancl 24807 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) ∈ ℂ)
3 mulcl 10212 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
41, 2, 3sylancr 698 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ)
5 efcl 15012 . . . 4 ((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
7 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
8 atandm2 24803 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
98simp1bi 1140 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → 𝐴 ∈ ℂ)
109sqcld 13200 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
11 addcl 10210 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
127, 10, 11sylancr 698 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
1312sqrtcld 14375 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
1412sqsqrtd 14377 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) = (1 + (𝐴↑2)))
15 atandm4 24805 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0))
1615simprbi 483 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (𝐴↑2)) ≠ 0)
1714, 16eqnetrd 2999 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0)
18 sqne0 13124 . . . . 5 ((√‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
1913, 18syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → (((√‘(1 + (𝐴↑2)))↑2) ≠ 0 ↔ (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0))
2017, 19mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → (√‘(1 + (𝐴↑2))) ≠ 0)
216, 13, 20divcan4d 10999 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (exp‘(i · (arctan‘𝐴))))
22 halfcn 11439 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
2312, 16logcld 24516 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
24 mulcl 10212 . . . . . . 7 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (𝐴↑2))) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
2522, 23, 24sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ)
26 efadd 15023 . . . . . 6 (((i · (arctan‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
274, 25, 26syl2anc 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))))
28 2cn 11283 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ∈ ℂ)
30 mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
311, 9, 30sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
32 addcl 10210 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
337, 31, 32sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
348simp3bi 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3533, 34logcld 24516 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3629, 35, 4subdid 10678 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))))
37 atanval 24810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
3837oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
391a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → i ∈ ℂ)
4029, 39, 2mulassd 10255 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · (arctan‘𝐴)) = (2 · (i · (arctan‘𝐴))))
41 halfcl 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
421, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i / 2) ∈ ℂ
4328, 1, 42mulassi 10241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · i) · (i / 2)) = (2 · (i · (i / 2)))
4428, 1, 42mul12i 10423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · (i · (i / 2))) = (i · (2 · (i / 2)))
45 2ne0 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≠ 0
461, 28, 45divcan2i 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (i / 2)) = i
4746oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · (2 · (i / 2))) = (i · i)
48 ixi 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · i) = -1
4947, 48eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (i · (2 · (i / 2))) = -1
5043, 44, 493eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · i) · (i / 2)) = -1
5150oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
52 subcl 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
537, 31, 52sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
548simp2bi 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
5553, 54logcld 24516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
5655, 35subcld 10584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
5756mulm1d 10674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
5851, 57syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
59 2mulicn 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · i) ∈ ℂ
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · i) ∈ ℂ)
6142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (i / 2) ∈ ℂ)
6260, 61, 56mulassd 10255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · i) · (i / 2)) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
6355, 35negsubdi2d 10600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → -((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6458, 62, 633eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · i) · ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6538, 40, 643eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (i · (arctan‘𝐴))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
6665oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (2 · (i · (arctan‘𝐴)))) = ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))))
67 mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6828, 35, 67sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
6968, 35, 55subsubd 10612 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
70352timesd 11467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7170oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
7235, 35pncand 10585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7371, 72eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
7473oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → (((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75 atanlogadd 24840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log)
76 logef 24527 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) ∈ ran log → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))
78 efadd 15023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
7935, 55, 78syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))))
80 eflog 24522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
8133, 34, 80syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (1 + (i · 𝐴)))
82 eflog 24522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0) → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8353, 54, 82syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (1 − (i · 𝐴)))
8481, 83oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) · (exp‘(log‘(1 − (i · 𝐴))))) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
85 sq1 13152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → (1↑2) = 1)
87 sqmul 13120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
881, 9, 87sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = ((i↑2) · (𝐴↑2)))
89 i2 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i↑2) = -1
9089oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i↑2) · (𝐴↑2)) = (-1 · (𝐴↑2))
9110mulm1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom arctan → (-1 · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9290, 91syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i↑2) · (𝐴↑2)) = -(𝐴↑2))
9388, 92eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · 𝐴)↑2) = -(𝐴↑2))
9486, 93oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = (1 − -(𝐴↑2)))
95 subsq 13166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
967, 31, 95sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1↑2) − ((i · 𝐴)↑2)) = ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))))
97 subneg 10522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
987, 10, 97sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 − -(𝐴↑2)) = (1 + (𝐴↑2)))
9994, 96, 983eqtr3d 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (i · 𝐴)) · (1 − (i · 𝐴))) = (1 + (𝐴↑2)))
10079, 84, 993eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (1 + (𝐴↑2)))
101100fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom arctan → (log‘(exp‘((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10277, 101eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) + (log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10369, 74, 1023eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · (log‘(1 + (i · 𝐴)))) − ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (log‘(1 − (i · 𝐴))))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
10436, 66, 1033eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → (2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) = (log‘(1 + (𝐴↑2))))
105104oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2))
10635, 4subcld 10584 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) ∈ ℂ)
10745a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan → 2 ≠ 0)
108106, 29, 107divcan3d 10998 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((2 · ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴)))) / 2) = ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))))
10923, 29, 107divrec2d 10997 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (𝐴↑2))) / 2) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
110105, 108, 1093eqtr3d 2802 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → ((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))
11135, 4, 25subaddd 10602 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (((log‘(1 + (i · 𝐴))) − (i · (arctan‘𝐴))) = ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))) ↔ ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴)))))
112110, 111mpbid 222 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (log‘(1 + (i · 𝐴))))
113112fveq2d 6356 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((i · (arctan‘𝐴)) + ((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11427, 113eqtr3d 2796 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = (exp‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
11522a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom arctan → (1 / 2) ∈ ℂ)
11612, 16, 115cxpefd 24657 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))))
117 cxpsqrt 24648 . . . . . . 7 ((1 + (𝐴↑2)) ∈ ℂ → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
11812, 117syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → ((1 + (𝐴↑2))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
119116, 118eqtr3d 2796 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2))))) = (√‘(1 + (𝐴↑2))))
120119oveq2d 6829 . . . 4 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘(1 + (𝐴↑2)))))) = ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
121114, 120, 813eqtr3d 2802 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan → ((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = (1 + (i · 𝐴)))
122121oveq1d 6828 . 2 (𝐴 ∈ dom arctan → (((exp‘(i · (arctan‘𝐴))) · (√‘(1 + (𝐴↑2)))) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
12321, 122eqtr3d 2796 1 (𝐴 ∈ dom arctan → (exp‘(i · (arctan‘𝐴))) = ((1 + (i · 𝐴)) / (√‘(1 + (𝐴↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  cexp 13054  csqrt 14172  expce 14991  logclog 24500  𝑐ccxp 24501  arctancatan 24790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503  df-atan 24793
This theorem is referenced by:  cosatan  24847
  Copyright terms: Public domain W3C validator