MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1b 18369
Description: Every extension sequence ending in an irreducible word is trivial. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1b (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1b
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifn 3876 . . . 4 ((𝑆𝐴) ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
2 efgred.d . . . 4 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2857 . . 3 ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → ¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
4 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
5 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
94, 5, 6, 7, 2, 8efgsdm 18363 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑎 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑎) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑎 − 1)))))
109simp1bi 1140 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
11 eldifsn 4462 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
12 lennncl 13531 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1311, 12sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
1410, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 elnn1uz2 11978 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1614, 15sylib 208 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 ∨ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1716ord 391 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
1810eldifad 3727 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ Word 𝑊)
1918adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
20 wrdf 13516 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
22 1z 11619 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
23 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
24 df-2 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
2524fveq2i 6356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2623, 25syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 eluzp1m1 11923 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
2822, 26, 27sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (ℤ‘1))
29 nnuz 11936 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
3028, 29syl6eleqr 2850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
31 lbfzo0 12722 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
3230, 31sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
33 fzoend 12773 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
34 elfzofz 12699 . . . . . . . . . . 11 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 eluzelz 11909 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3736adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
38 fzoval 12685 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4035, 39eleqtrrd 2842 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4121, 40ffvelrnd 6524 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
42 uz2m1nn 11976 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
434, 5, 6, 7, 2, 8efgsdmi 18365 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4442, 43sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
45 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → (𝑇𝑎) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4645rneqd 5508 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
4746eliuni 4678 . . . . . . . 8 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
4841, 44, 47syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎))
49 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑇𝑎) = (𝑇𝑥))
5049rneqd 5508 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑥 → ran (𝑇𝑎) = ran (𝑇𝑥))
5150cbviunv 4711 . . . . . . 7 𝑎𝑊 ran (𝑇𝑎) = 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)
5248, 51syl6eleq 2849 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5352ex 449 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5417, 53syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)))
5554con1d 139 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (¬ (𝑆𝐴) ∈ 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥) → (♯‘𝐴) = 1))
563, 55syl5 34 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 → (♯‘𝐴) = 1))
579simp2bi 1141 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝐴‘0) ∈ 𝐷)
58 oveq1 6821 . . . . . . 7 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
59 1m1e0 11301 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
6058, 59syl6eq 2810 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = 1 → ((♯‘𝐴) − 1) = 0)
6160fveq2d 6357 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
6261eleq1d 2824 . . . 4 ((♯‘𝐴) = 1 → ((𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘0) ∈ 𝐷))
6357, 62syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
644, 5, 6, 7, 2, 8efgsval 18364 . . . 4 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)))
6564eleq1d 2824 . . 3 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝐴‘((♯‘𝐴) − 1)) ∈ 𝐷))
6663, 65sylibrd 249 . 2 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((♯‘𝐴) = 1 → (𝑆𝐴) ∈ 𝐷))
6756, 66impbid 202 1 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (♯‘𝐴) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  cdif 3712  c0 4058  {csn 4321  cop 4327  cotp 4329   ciun 4672  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  cn 11232  2c2 11282  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539  ..^cfzo 12679  chash 13331  Word cword 13497   splice csplice 13502  ⟨“cs2 13806   ~FG cefg 18339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505
This theorem is referenced by:  efgredlema  18373  efgredeu  18385
  Copyright terms: Public domain W3C validator