MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgs1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgs1 18194
Description: A singleton of an irreducible word is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgs1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgs1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3765 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) → 𝐴𝑊)
2 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
31, 2eleq2s 2748 . . . 4 (𝐴𝐷𝐴𝑊)
43s1cld 13419 . . 3 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
5 s1nz 13423 . . . 4 ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅
6 eldifsn 4350 . . . 4 (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“𝐴”⟩ ≠ ∅))
75, 6mpbiran2 974 . . 3 (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑊)
84, 7sylibr 224 . 2 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9 s1fv 13427 . . 3 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
10 id 22 . . 3 (𝐴𝐷𝐴𝐷)
119, 10eqeltrd 2730 . 2 (𝐴𝐷 → (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷)
12 s1len 13422 . . . . . 6 (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1
1312a1i 11 . . . . 5 (𝐴𝐷 → (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
1413oveq2d 6706 . . . 4 (𝐴𝐷 → (1..^(#‘⟨“𝐴”⟩)) = (1..^1))
15 fzo0 12531 . . . 4 (1..^1) = ∅
1614, 15syl6eq 2701 . . 3 (𝐴𝐷 → (1..^(#‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅)
17 rzal 4106 . . 3 ((1..^(#‘⟨“𝐴”⟩)) = ∅ → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
1816, 17syl 17 . 2 (𝐴𝐷 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1))))
19 efgval.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
20 efgval.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
21 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
22 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
23 efgred.s . . 3 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
2419, 20, 21, 22, 2, 23efgsdm 18189 . 2 (⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆 ↔ (⟨“𝐴”⟩ ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (⟨“𝐴”⟩‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘⟨“𝐴”⟩))(⟨“𝐴”⟩‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(⟨“𝐴”⟩‘(𝑖 − 1)))))
258, 11, 18, 24syl3anbrc 1265 1 (𝐴𝐷 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ dom 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  ⟨“cs1 13326   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-s1 13334
This theorem is referenced by:  efgsfo  18198
  Copyright terms: Public domain W3C validator