Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemd 18357
 Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18344 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
efgredlemd.9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
efgredlemd.c (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
efgredlemd.sc (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
Assertion
Ref Expression
efgredlemd (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝐶,𝑎,𝑏,𝑘,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlemd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ dom 𝑆)
2 efgval.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
3 efgval.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
4 efgval2.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
5 efgval2.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
6 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
7 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
82, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18343 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐶‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐶))(𝐶𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐶‘(𝑖 − 1)))))
98simp1bi 1140 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ dom 𝑆𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1110eldifad 3727 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑊)
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
132, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18343 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1413simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1615eldifad 3727 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
17 wrdf 13496 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
19 fzossfz 12682 . . . . . . . . 9 (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐴) − 1))
20 lencl 13510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
2221nn0zd 11672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
23 fzoval 12665 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
2519, 24syl5sseqr 3795 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
26 efgredlemb.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
27 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
28 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
29 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
30 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
312, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30efgredlema 18353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
3231simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
33 fzo0end 12754 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3526, 34syl5eqel 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
3625, 35sseldd 3745 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3718, 36ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
3837s1cld 13573 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊)
39 eldifsn 4462 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅))
40 lennncl 13511 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ Word 𝑊𝐶 ≠ ∅) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4139, 40sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4210, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
43 lbfzo0 12702 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)) ↔ (♯‘𝐶) ∈ ℕ)
4442, 43sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶)))
45 ccatval1 13549 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
4611, 38, 44, 45syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
472, 3, 4, 5, 6, 7efgsdm 18343 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
4847simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
4928, 48syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
5049eldifad 3727 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
51 wrdf 13496 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
5250, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
53 fzossfz 12682 . . . . . . . . 9 (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐵) − 1))
54 lencl 13510 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5550, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzoval 12665 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
5953, 58syl5sseqr 3795 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐵)))
60 efgredlemb.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
6131simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62 fzo0end 12754 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6460, 63syl5eqel 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
6559, 64sseldd 3745 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6652, 65ffvelrnd 6523 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
6766s1cld 13573 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊)
68 ccatval1 13549 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩ ∈ Word 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐶))) → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
6911, 67, 44, 68syl3anc 1477 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0) = (𝐶‘0))
7046, 69eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
71 fviss 6418 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
722, 71eqsstri 3776 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
7372, 37sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
74 lencl 13510 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7573, 74syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
7675nn0red 11544 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ)
77 2rp 12030 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
78 ltaddrp 12060 . . . . . 6 (((♯‘(𝐴𝐾)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴𝐾)) < ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
7976, 77, 78sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐴𝐾)) < ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
8021nn0red 11544 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
8180lem1d 11149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
82 fznn 12601 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
8322, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
8432, 81, 83mpbir2and 995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
852, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 18351 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
8612, 84, 85syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
872, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 18344 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
89 fz1ssfz0 12629 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
9089, 84sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
91 swrd0val 13620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
9216, 90, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
9392fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
94 swrd0len 13621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐴) − 1))
9516, 90, 94syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐴) − 1))
9693, 95eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
9796oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
9897, 26syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = 𝐾)
9998fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾))
100 fvres 6368 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴𝐾))
10135, 100syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘𝐾) = (𝐴𝐾))
10288, 99, 1013eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴𝐾))
103102fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴𝐾)))
1042, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 18345 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
10512, 32, 104syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
10626fveq2i 6355 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐾) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))
107106fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐴𝐾)) = (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
108107rneqi 5507 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐴𝐾)) = ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
109105, 108syl6eleqr 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾)))
1102, 3, 4, 5efgtlen 18339 . . . . . 6 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴𝐾))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
11137, 109, 110syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴𝐾)) + 2))
11279, 103, 1113brtr4d 4836 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
113 efgredlemb.p . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (0...(♯‘(𝐴𝐾))))
114 efgredlemb.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (0...(♯‘(𝐵𝐿))))
115 efgredlemb.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
116 efgredlemb.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
117 efgredlemb.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
118 efgredlemb.7 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
119 efgredlemb.8 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
120 efgredlemd.9 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
121 efgredlemd.sc . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐶) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (♯‘(𝐴𝐾))⟩)))
1222, 3, 4, 5, 6, 7, 27, 12, 28, 29, 30, 26, 60, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 1, 121efgredleme 18356 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)) ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))))
123122simpld 477 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1242, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 18350 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐴𝐾) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1251, 123, 124syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1262, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 18346 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
12711, 37, 125, 126syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) = (𝐴𝐾))
128102, 127eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
129 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
130129fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
131130breq1d 4814 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
132129eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
133 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
134133eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
135132, 134imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
136131, 135imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
137 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)))
138137eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩))))
139 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
140139eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))
141138, 140imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
142141imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0)))))
143136, 142rspc2va 3462 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
14486, 125, 27, 143syl21anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))))
145112, 128, 144mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐴𝐾)”⟩)‘0))
14672, 66sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
147 lencl 13510 . . . . . . . 8 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
148146, 147syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
149148nn0red 11544 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ)
150 ltaddrp 12060 . . . . . 6 (((♯‘(𝐵𝐿)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐵𝐿)) < ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
151149, 77, 150sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐵𝐿)) < ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
15255nn0red 11544 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
153152lem1d 11149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
154 fznn 12601 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
15556, 154syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
15661, 153, 155mpbir2and 995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
1572, 3, 4, 5, 6, 7efgsres 18351 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
15828, 156, 157syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1592, 3, 4, 5, 6, 7efgsval 18344 . . . . . . . 8 ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
160158, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
161 fz1ssfz0 12629 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
162161, 156sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
163 swrd0val 13620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
16450, 162, 163syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
165164fveq2d 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
166 swrd0len 13621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐵) − 1))
16750, 162, 166syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐵) − 1))
168165, 167eqtr3d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
169168oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1))
170169, 60syl6eqr 2812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = 𝐿)
171170fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿))
172 fvres 6368 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵𝐿))
17364, 172syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘𝐿) = (𝐵𝐿))
174160, 171, 1733eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝐵𝐿))
175174fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) = (♯‘(𝐵𝐿)))
1762, 3, 4, 5, 6, 7efgsdmi 18345 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17728, 61, 176syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17829, 177eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
17960fveq2i 6355 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐿) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))
180179fveq2i 6355 . . . . . . . 8 (𝑇‘(𝐵𝐿)) = (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
181180rneqi 5507 . . . . . . 7 ran (𝑇‘(𝐵𝐿)) = ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
182178, 181syl6eleqr 2850 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿)))
1832, 3, 4, 5efgtlen 18339 . . . . . 6 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐵𝐿))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
18466, 182, 183syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐵𝐿)) + 2))
185151, 175, 1843brtr4d 4836 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
186122simprd 482 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶)))
1872, 3, 4, 5, 6, 7efgsp1 18350 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵𝐿) ∈ ran (𝑇‘(𝑆𝐶))) → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1881, 186, 187syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆)
1892, 3, 4, 5, 6, 7efgsval2 18346 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
19011, 66, 188, 189syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) = (𝐵𝐿))
191174, 190eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
192 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
193192fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
194193breq1d 4814 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
195192eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
196 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
197196eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
198195, 197imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
199194, 198imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
200 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)))
201200eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩))))
202 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (𝑏‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
203202eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))
204201, 203imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
205204imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) → (((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0)))))
206199, 205rspc2va 3462 . . . . 5 ((((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
207158, 188, 27, 206syl21anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = (𝑆‘(𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))))
208185, 191, 207mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = ((𝐶 ++ ⟨“(𝐵𝐿)”⟩)‘0))
20970, 145, 2083eqtr4d 2804 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
210 lbfzo0 12702 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
21132, 210sylibr 224 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
212 fvres 6368 . . 3 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
213211, 212syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
214 lbfzo0 12702 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
21561, 214sylibr 224 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
216 fvres 6368 . . 3 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
217215, 216syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
218209, 213, 2173eqtr3d 2802 1 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {crab 3054   ∖ cdif 3712  ∅c0 4058  {csn 4321  ⟨cop 4327  ⟨cotp 4329  ∪ ciun 4672   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  1𝑜c1o 7722  2𝑜c2o 7723  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  ℕcn 11212  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ℝ+crp 12025  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480   substr csubstr 13481   splice csplice 13482  ⟨“cs2 13786   ~FG cefg 18319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-s2 13793 This theorem is referenced by:  efgredlemc  18358
 Copyright terms: Public domain W3C validator