MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemc 18204
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18190 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
Assertion
Ref Expression
efgredlemc (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemc
Dummy variables 𝑐 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzp1 11759 . 2 (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝑃 = 𝑄𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))))
2 efgredlemb.8 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
3 efgval.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
4 fviss 6295 . . . . . . . . . . 11 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
53, 4eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
6 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
7 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
8 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
9 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
10 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
11 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
123, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 18189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1312simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
146, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
15 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ∈ Word 𝑊)
16 wrdf 13342 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:(0..^(#‘𝐴))⟶𝑊)
18 fzossfz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^((#‘𝐴) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐴) − 1))
19 efgredlemb.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
20 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
21 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
22 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
23 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
243, 7, 8, 9, 10, 11, 20, 6, 21, 22, 23efgredlema 18199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2524simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
26 fzo0end 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
2819, 27syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (0..^((#‘𝐴) − 1)))
2918, 28sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (0...((#‘𝐴) − 1)))
30 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3114, 15, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
33 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(#‘𝐴)) = (0...((#‘𝐴) − 1)))
3529, 34eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(#‘𝐴)))
3617, 35ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ 𝑊)
375, 36sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
38 efgredlemb.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
39 elfzuz 12376 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘0))
40 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑃))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑃))
42 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ ℕ0)
44 nn0uz 11760 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
4543, 44syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0))
46 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . 10 ((#‘(𝐴𝐾)) ∈ (ℤ‘0) → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
48 ccatswrd 13502 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑃) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ (#‘(𝐴𝐾)) ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩))
4937, 41, 38, 47, 48syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩))
50 swrdid 13474 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = (𝐴𝐾))
5137, 50syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = (𝐴𝐾))
5249, 51eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝐴𝐾))
533, 7, 8, 9, 10, 11efgsdm 18189 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
5453simp1bi 1096 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
5521, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
56 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐵 ∈ Word 𝑊)
57 wrdf 13342 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
5855, 56, 573syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵:(0..^(#‘𝐵))⟶𝑊)
59 fzossfz 12527 . . . . . . . . . . . . 13 (0..^((#‘𝐵) − 1)) ⊆ (0...((#‘𝐵) − 1))
60 efgredlemb.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
6124simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
62 fzo0end 12600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((#‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6460, 63syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ (0..^((#‘𝐵) − 1)))
6559, 64sseldi 3634 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0...((#‘𝐵) − 1)))
66 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
6755, 56, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
6867nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℤ)
69 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(#‘𝐵)) = (0...((#‘𝐵) − 1)))
7165, 70eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ (0..^(#‘𝐵)))
7258, 71ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ 𝑊)
735, 72sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
74 efgredlemb.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
75 elfzuz 12376 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ (ℤ‘0))
76 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑄))
7774, 75, 763syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑄))
78 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
7973, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ ℕ0)
8079, 44syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0))
81 eluzfz2 12387 . . . . . . . . . 10 ((#‘(𝐵𝐿)) ∈ (ℤ‘0) → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
8280, 81syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
83 ccatswrd 13502 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑄) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ (#‘(𝐵𝐿)) ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
8473, 77, 74, 82, 83syl13anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
85 swrdid 13474 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩) = (𝐵𝐿))
8673, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, (#‘(𝐵𝐿))⟩) = (𝐵𝐿))
8784, 86eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = (𝐵𝐿))
8852, 87eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿)))
892, 88mtbird 314 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
90 efgredlemb.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
91 efgredlemb.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
923, 7, 8, 9efgtval 18182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
9336, 38, 91, 92syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈) = ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩))
948efgmf 18172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
9594ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑈) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
9791, 96s2cld 13662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
98 splval 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 ∧ (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
9936, 38, 38, 97, 98syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) splice ⟨𝑃, 𝑃, ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩⟩) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
10090, 93, 993eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐴) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
101 efgredlemb.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
102 efgredlemb.v . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
1033, 7, 8, 9efgtval 18182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
10472, 74, 102, 103syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉) = ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩))
10594ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
106102, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
107102, 106s2cld 13662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
108 splval 13548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵𝐿) ∈ 𝑊 ∧ (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
10972, 74, 74, 107, 108syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) splice ⟨𝑄, 𝑄, ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
110101, 104, 1093eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐵) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
11122, 100, 1103eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
112111adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
113 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
11437, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
115114adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
11697adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
117 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
118115, 116, 117syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
119 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
12037, 119syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
122 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
12373, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
125107adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
126 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
127124, 125, 126syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
128 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
12973, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
131 swrd0len 13467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾)))) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = 𝑃)
13237, 38, 131syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = 𝑃)
133 swrd0len 13467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵𝐿) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿)))) → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
13473, 74, 133syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) = 𝑄)
135132, 134eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) ↔ 𝑃 = 𝑄))
136135biimpar 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)))
137 s2len 13680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = 2
138 s2len 13680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = 2
139137, 138eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
141136, 140oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
142 ccatlen 13393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)))
143115, 116, 142syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)))
144 ccatlen 13393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
145124, 125, 144syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
146141, 143, 1453eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
147 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))) → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
148118, 121, 127, 130, 146, 147syl221anc 1377 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
149112, 148mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
150149simpld 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
151 ccatopth 13516 . . . . . . . . 9 (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
152115, 116, 124, 125, 136, 151syl221anc 1377 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩)))
153150, 152mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∧ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
154153simpld 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩))
155149simprd 478 . . . . . 6 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
156154, 155oveq12d 6708 . . . . 5 ((𝜑𝑃 = 𝑄) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
15789, 156mtand 692 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑃 = 𝑄)
158157pm2.21d 118 . . 3 (𝜑 → (𝑃 = 𝑄 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
159 uzp1 11759 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1)) → (𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1))))
16091s1cld 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
161 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
162114, 160, 161syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
16396s1cld 13419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
164 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
165162, 163, 120, 164syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
166 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)))
167114, 160, 163, 166syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)))
168 df-s2 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩ = (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩)
169168oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ (⟨“𝑈”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩))
170167, 169syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) = (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩))
171170oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
172102s1cld 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
173106s1cld 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
174 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
175123, 172, 173, 174syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
176 df-s2 13639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩ = (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
177176oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
178175, 177syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩))
179178oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
180111, 171, 1793eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑈)”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
181165, 180eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
182181adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
183162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
184163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
185120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
186 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
187184, 185, 186syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
188 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
189123, 172, 188syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
190189adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
191173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
192 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
193190, 191, 192syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
194129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
195 ccatlen 13393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉”⟩)))
196123, 172, 195syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉”⟩)))
197 s1len 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (#‘⟨“𝑉”⟩) = 1
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (#‘⟨“𝑉”⟩) = 1)
199134, 198oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((#‘((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩)) + (#‘⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
200196, 199eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) = (𝑄 + 1))
201132, 200eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) ↔ 𝑃 = (𝑄 + 1)))
202201biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)))
203 s1len 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘⟨“𝑈”⟩) = 1
204 s1len 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩) = 1
205203, 204eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (#‘⟨“𝑈”⟩) = (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (#‘⟨“𝑈”⟩) = (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
207202, 206oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈”⟩)) = ((#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
208114adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
209160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
210 ccatlen 13393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈”⟩)))
211208, 209, 210syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = ((#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) + (#‘⟨“𝑈”⟩)))
212 ccatlen 13393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)) = ((#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
213190, 191, 212syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (#‘((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)) = ((#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩)) + (#‘⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
214207, 211, 2133eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (#‘((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
215 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘(((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩)) = (#‘((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))) → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
216183, 187, 193, 194, 214, 215syl221anc 1377 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) ++ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)) ↔ ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))))
217182, 216mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ∧ (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
218217simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
219 ccatopth 13516 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑈”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) ∧ (#‘((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩)) = (#‘(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩))) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
220208, 209, 190, 191, 202, 219syl221anc 1377 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ⟨“𝑈”⟩) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ⟨“(𝑀𝑉)”⟩) ↔ (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)))
221218, 220mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ∧ ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩))
222221simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩))
223222oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
224123adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
225172adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
226 ccatass 13406 . . . . . . . . 9 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑉”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
227224, 225, 185, 226syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ⟨“𝑉”⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))))
228221simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩)
229 s111 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑀𝑉) ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
23091, 106, 229syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
231230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑈”⟩ = ⟨“(𝑀𝑉)”⟩ ↔ 𝑈 = (𝑀𝑉)))
232228, 231mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → 𝑈 = (𝑀𝑉))
233232fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀𝑈) = (𝑀‘(𝑀𝑉)))
2348efgmnvl 18173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
235102, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀‘(𝑀𝑉)) = 𝑉)
237233, 236eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (𝑀𝑈) = 𝑉)
238237s1eqd 13417 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → ⟨“(𝑀𝑈)”⟩ = ⟨“𝑉”⟩)
239238oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
240217simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“(𝑀𝑈)”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
241239, 240eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩))
242241oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ (⟨“𝑉”⟩ ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩))) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
243223, 227, 2423eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 = (𝑄 + 1)) → (((𝐴𝐾) substr ⟨0, 𝑃⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨𝑃, (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐵𝐿) substr ⟨𝑄, (#‘(𝐵𝐿))⟩)))
24489, 243mtand 692 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑃 = (𝑄 + 1))
245244pm2.21d 118 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 = (𝑄 + 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
246 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ ℤ)
24774, 246syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
248247zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
249 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
250248, 249, 249addassd 10100 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + (1 + 1)))
251 df-2 11117 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
252251oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (𝑄 + 2) = (𝑄 + (1 + 1))
253250, 252syl6eqr 2703 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) = (𝑄 + 2))
254253fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 2)))
255254eleq2d 2716 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))))
2563, 7, 8, 9, 10, 11efgsfo 18198 . . . . . . . . . 10 𝑆:dom 𝑆onto𝑊
257 swrdcl 13464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
25837, 257syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
259 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
260123, 258, 259syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
2613efgrcl 18174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐾) ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
26236, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
263262simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
264260, 263eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ 𝑊)
265 foelrn 6418 . . . . . . . . . 10 ((𝑆:dom 𝑆onto𝑊 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) ∈ 𝑊) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
266256, 264, 265sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
267266adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → ∃𝑐 ∈ dom 𝑆(((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
26820ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
2696ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
27021ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
27122ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
27223ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
27338ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
27474ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
27591ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
276102ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
27790ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
278101ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
2792ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
280 simplr 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)))
281 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → 𝑐 ∈ dom 𝑆)
282 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))
283282eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝑆𝑐) = (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)))
2843, 7, 8, 9, 10, 11, 268, 269, 270, 271, 272, 19, 60, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 283efgredlemd 18203 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) ∧ (𝑐 ∈ dom 𝑆 ∧ (((𝐵𝐿) substr ⟨0, 𝑄⟩) ++ ((𝐴𝐾) substr ⟨(𝑄 + 2), (#‘(𝐴𝐾))⟩)) = (𝑆𝑐))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
285267, 284rexlimddv 3064 . . . . . . 7 ((𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
286285ex 449 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 2)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
287255, 286sylbid 230 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
288245, 287jaod 394 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 = (𝑄 + 1) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ‘((𝑄 + 1) + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
289159, 288syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
290158, 289jaod 394 . 2 (𝜑 → ((𝑃 = 𝑄𝑃 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
2911, 290syl5 34 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326   substr csubstr 13327   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-s2 13639
This theorem is referenced by:  efgredlemb  18205
  Copyright terms: Public domain W3C validator