MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlemb 18205
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18190 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
efgredlemb.k 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
efgredlemb.l 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
efgredlemb.p (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
efgredlemb.q (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
efgredlemb.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.v (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
efgredlemb.6 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
efgredlemb.7 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
efgredlemb.8 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
Assertion
Ref Expression
efgredlemb ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝐿,𝑎,𝑏   𝐾,𝑎,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑃   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑈,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑄,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝑄(𝑥,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)   𝐼(𝑘)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑡,𝑘,𝑚,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem efgredlemb
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . 5 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
5 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
6 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
7 efgredlem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
8 efgredlem.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
9 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (#‘(𝑆𝐴)) = (#‘(𝑆𝐵)))
109breq2d 4697 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) ↔ (#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐵))))
1110imbi1d 330 . . . . . . . 8 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
12112ralbidv 3018 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) = (𝑆𝐵) → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
138, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))))
147, 13mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐵)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
15 efgredlem.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
16 efgredlem.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
178eqcomd 2657 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑆𝐴))
18 efgredlem.5 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
19 eqcom 2658 . . . . . 6 ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) ↔ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
2018, 19sylnib 317 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵‘0) = (𝐴‘0))
21 efgredlemb.l . . . . 5 𝐿 = (((#‘𝐵) − 1) − 1)
22 efgredlemb.k . . . . 5 𝐾 = (((#‘𝐴) − 1) − 1)
23 efgredlemb.q . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))))
24 efgredlemb.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))))
25 efgredlemb.v . . . . 5 (𝜑𝑉 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
26 efgredlemb.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
27 efgredlemb.7 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝑄(𝑇‘(𝐵𝐿))𝑉))
28 efgredlemb.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑃(𝑇‘(𝐴𝐾))𝑈))
29 efgredlemb.8 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴𝐾) = (𝐵𝐿))
30 eqcom 2658 . . . . . 6 ((𝐴𝐾) = (𝐵𝐿) ↔ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
3129, 30sylnib 317 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐵𝐿) = (𝐴𝐾))
321, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31efgredlemc 18204 . . . 4 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐵‘0) = (𝐴‘0)))
3332, 19syl6ibr 242 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
341, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 16, 15, 8, 18, 22, 21, 24, 23, 26, 25, 28, 27, 29efgredlemc 18204 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑄) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0)))
35 elfzelz 12380 . . . . 5 (𝑃 ∈ (0...(#‘(𝐴𝐾))) → 𝑃 ∈ ℤ)
3624, 35syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
37 elfzelz 12380 . . . . 5 (𝑄 ∈ (0...(#‘(𝐵𝐿))) → 𝑄 ∈ ℤ)
3823, 37syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
39 uztric 11747 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
4036, 38, 39syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℤ𝑃) ∨ 𝑃 ∈ (ℤ𝑄)))
4133, 34, 40mpjaod 395 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4241, 18pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-s2 13639
This theorem is referenced by:  efgredlem  18206
  Copyright terms: Public domain W3C validator