MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgredlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgredlema 18199
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18190 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((#‘(𝑆𝑎)) < (#‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlema (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlema
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgredlem.5 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
2 efgredlem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
3 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
4 efgval.r . . . . . . . . . 10 = ( ~FG𝐼)
5 efgval2.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
6 efgval2.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
7 efgred.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
8 efgred.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
93, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18190 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
102, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)))
11 efgredlem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
12 efgredlem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
133, 4, 5, 6, 7, 8efgsval 18190 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
1511, 14eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐵) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
1610, 15eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)))
17 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = (1 − 1))
18 1m1e0 11127 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1917, 18syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) = 1 → ((#‘𝐴) − 1) = 0)
2019fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((#‘𝐴) = 1 → (𝐴‘((#‘𝐴) − 1)) = (𝐴‘0))
2116, 20sylan9eq 2705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = (𝐴‘0))
2211eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (𝑆𝐵) ∈ 𝐷))
233, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18195 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐴) = 1))
253, 4, 5, 6, 7, 8efgs1b 18195 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ dom 𝑆 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐵) = 1))
262, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (#‘𝐵) = 1))
2722, 24, 263bitr3d 298 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘𝐴) = 1 ↔ (#‘𝐵) = 1))
2827biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) = 1) → (#‘𝐵) = 1)
29 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) − 1) = (1 − 1))
3029, 18syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((#‘𝐵) = 1 → ((#‘𝐵) − 1) = 0)
3130fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((#‘𝐵) = 1 → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3228, 31syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) = 1) → (𝐵‘((#‘𝐵) − 1)) = (𝐵‘0))
3321, 32eqtr3d 2687 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) = 1) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
341, 33mtand 692 . . . 4 (𝜑 → ¬ (#‘𝐴) = 1)
353, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18189 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(#‘𝐴))(𝐴𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑢 − 1)))))
3635simp1bi 1096 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
37 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅))
38 lennncl 13357 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ≠ ∅) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
3937, 38sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
4012, 36, 393syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
41 elnn1uz2 11803 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4240, 41sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐴) = 1 ∨ (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4342ord 391 . . . 4 (𝜑 → (¬ (#‘𝐴) = 1 → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)))
4434, 43mpd 15 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
45 uz2m1nn 11801 . . 3 ((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4644, 45syl 17 . 2 (𝜑 → ((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
4734, 27mtbid 313 . . . 4 (𝜑 → ¬ (#‘𝐵) = 1)
483, 4, 5, 6, 7, 8efgsdm 18189 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑢 ∈ (1..^(#‘𝐵))(𝐵𝑢) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑢 − 1)))))
4948simp1bi 1096 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
50 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅))
51 lennncl 13357 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵 ≠ ∅) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
5250, 51sylbi 207 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
532, 49, 523syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
54 elnn1uz2 11803 . . . . . 6 ((#‘𝐵) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐵) = 1 ∨ (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5553, 54sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝐵) = 1 ∨ (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5655ord 391 . . . 4 (𝜑 → (¬ (#‘𝐵) = 1 → (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘2)))
5747, 56mpd 15 . . 3 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ (ℤ‘2))
58 uz2m1nn 11801 . . 3 ((#‘𝐵) ∈ (ℤ‘2) → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
5957, 58syl 17 . 2 (𝜑 → ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
6046, 59jca 553 1 (𝜑 → (((#‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((#‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  cdif 3604  c0 3948  {csn 4210  cop 4216  cotp 4218   ciun 4552   class class class wbr 4685  cmpt 4762   I cid 5052   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~FG cefg 18165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331
This theorem is referenced by:  efgredlemf  18200  efgredlemg  18201  efgredlemd  18203  efgredlemc  18204  efgredlem  18206
  Copyright terms: Public domain W3C validator