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Theorem efgredlem 18360
Description: The reduced word that forms the base of the sequence in efgsval 18344 is uniquely determined, given the ending representation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
efgredlem.1 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
efgredlem.2 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.3 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
efgredlem.4 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
efgredlem.5 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
Assertion
Ref Expression
efgredlem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝐴   𝑦,𝑎,𝑧,𝑏   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑚,𝑎,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑏   𝑘,𝑎,𝑇,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥   𝑊,𝑎,𝑏   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑎,𝑏   𝑆,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑎,𝑏,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgredlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6418 . . . . . . . . . 10 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3776 . . . . . . . . 9 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
4 efgredlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝑆)
5 efgval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 = ( ~FG𝐼)
6 efgval2.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
7 efgval2.t . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
8 efgred.d . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
9 efgred.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
101, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐴‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(𝑖 − 1)))))
1110simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom 𝑆𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
124, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
1312eldifad 3727 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑊)
14 wrdf 13496 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴:(0..^(♯‘𝐴))⟶𝑊)
16 efgredlem.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
17 efgredlem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ dom 𝑆)
18 efgredlem.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
19 efgredlem.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
201, 5, 6, 7, 8, 9, 16, 4, 17, 18, 19efgredlema 18353 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ))
2120simpld 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
22 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
2421nnred 11227 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℝ)
2524lem1d 11149 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))
26 eldifsni 4466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) → 𝐴 ≠ ∅)
274, 11, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
28 wrdfin 13509 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Word 𝑊𝐴 ∈ Fin)
29 hashnncl 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ Fin → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3013, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3127, 30mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
32 nnm1nn0 11526 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
33 fznn0 12625 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ≤ ((♯‘𝐴) − 1))))
3523, 25, 34mpbir2and 995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐴) − 1)))
36 lencl 13510 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3713, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
3837nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzoval 12665 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0...((♯‘𝐴) − 1)))
4135, 40eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
4215, 41ffvelrnd 6523 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
433, 42sseldi 3742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
44 lencl 13510 . . . . . . . 8 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4543, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11544 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ)
47 2rp 12030 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
48 ltaddrp 12060 . . . . . 6 (((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
4946, 47, 48sylancl 697 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) < ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
5037nn0red 11544 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
5150lem1d 11149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))
52 fznn 12601 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5338, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)) ↔ (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ≤ (♯‘𝐴))))
5421, 51, 53mpbir2and 995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴)))
551, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18351 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
564, 54, 55syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆)
571, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18344 . . . . . . . 8 ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)))
59 fz1ssfz0 12629 . . . . . . . . . . . . 13 (1...(♯‘𝐴)) ⊆ (0...(♯‘𝐴))
6059, 54sseldi 3742 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴)))
61 swrd0val 13620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6213, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩) = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))
6362fveq2d 6356 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
64 swrd0len 13621 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐴))) → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐴) − 1))
6513, 60, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐴 substr ⟨0, ((♯‘𝐴) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐴) − 1))
6663, 65eqtr3d 2796 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = ((♯‘𝐴) − 1))
6766oveq1d 6828 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1))
6867fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
69 fzo0end 12754 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
70 fvres 6368 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐴) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7121, 69, 703syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7258, 68, 713eqtrd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))
7372fveq2d 6356 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) = (♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
741, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18345 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
754, 21, 74syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))
761, 5, 6, 7efgtlen 18339 . . . . . 6 (((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 ∧ (𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7742, 75, 76syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆𝐴)) = ((♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) + 2))
7849, 73, 773brtr4d 4836 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)))
791, 5, 6, 7efgtf 18335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8042, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
8180simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
82 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
83 ovelrn 6975 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8481, 82, 833syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐴) ∈ ran (𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟)))
8575, 84mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
8620simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
871, 5, 6, 7, 8, 9efgsdmi 18345 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ) → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
8817, 86, 87syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
891, 5, 6, 7, 8, 9efgsdm 18343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐵‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(𝑖 − 1)))))
9089simp1bi 1140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ dom 𝑆𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9117, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9291eldifad 3727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑊)
93 wrdf 13496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ Word 𝑊𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵:(0..^(♯‘𝐵))⟶𝑊)
95 fzo0end 12754 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
96 elfzofz 12679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
9786, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0...((♯‘𝐵) − 1)))
98 lencl 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ Word 𝑊 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
9992, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
10099nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
101 fzoval 12665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0...((♯‘𝐵) − 1)))
10397, 102eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
10494, 103ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊)
1051, 5, 6, 7efgtf 18335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) = (𝑎 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ ((𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
107106simprd 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
108 ffn 6206 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))):((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)))
109 ovelrn 6975 . . . . . . . . . 10 ((𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) Fn ((0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))) × (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝐵) ∈ ran (𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11188, 110mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
112 reeanv 3245 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
113 reeanv 3245 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) ↔ (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
11416ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))))
1154ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐴 ∈ dom 𝑆)
11617ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝐵 ∈ dom 𝑆)
11718ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑆𝐵))
11819ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
119 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) − 1) − 1) = (((♯‘𝐴) − 1) − 1)
120 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐵) − 1) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1)
121 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))))
122121simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))))
123121simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))
124 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)))
125124simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
126124simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
127 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))
128127simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟))
129127simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠))
130 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) → ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
1311, 5, 6, 7, 8, 9, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 122, 123, 125, 126, 128, 129, 130efgredlemb 18359 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
132 iman 439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))) ↔ ¬ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) ∧ ¬ (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
133131, 132mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ ((𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)))) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
134133expr 644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) ∧ (𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
135134rexlimdvva 3176 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → (∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)((𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ (𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
136113, 135syl5bir 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))) ∧ 𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))))) → ((∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
137136rexlimdvva 3176 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))(∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
138112, 137syl5bir 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((∃𝑖 ∈ (0...(♯‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1))))∃𝑟 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐴) = (𝑖(𝑇‘(𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)))𝑟) ∧ ∃𝑗 ∈ (0...(♯‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))∃𝑠 ∈ (𝐼 × 2𝑜)(𝑆𝐵) = (𝑗(𝑇‘(𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))𝑠)) → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1))))
13985, 111, 138mp2and 717 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
140 fvres 6368 . . . . . . . 8 ((((♯‘𝐵) − 1) − 1) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
14186, 95, 1403syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)) = (𝐵‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
142139, 71, 1413eqtr4d 2804 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘(((♯‘𝐴) − 1) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
143 fz1ssfz0 12629 . . . . . . . . . . . 12 (1...(♯‘𝐵)) ⊆ (0...(♯‘𝐵))
14499nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℝ)
145144lem1d 11149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))
146 fznn 12601 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
147100, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)) ↔ (((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ≤ (♯‘𝐵))))
14886, 145, 147mpbir2and 995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵)))
149143, 148sseldi 3742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵)))
150 swrd0val 13620 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
15192, 149, 150syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩) = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))
152151fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
153 swrd0len 13621 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word 𝑊 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (0...(♯‘𝐵))) → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐵) − 1))
15492, 149, 153syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(𝐵 substr ⟨0, ((♯‘𝐵) − 1)⟩)) = ((♯‘𝐵) − 1))
155152, 154eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((♯‘𝐵) − 1))
156155oveq1d 6828 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1) = (((♯‘𝐵) − 1) − 1))
157156fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘(((♯‘𝐵) − 1) − 1)))
158142, 68, 1573eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘((♯‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) − 1)) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
1591, 5, 6, 7, 8, 9efgsres 18351 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom 𝑆 ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ (1...(♯‘𝐵))) → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
16017, 148, 159syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆)
1611, 5, 6, 7, 8, 9efgsval 18344 . . . . . 6 ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
162160, 161syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘((♯‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) − 1)))
163158, 58, 1623eqtr4d 2804 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
164 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑆𝑎) = (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))))
165164fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (♯‘(𝑆𝑎)) = (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))))
166165breq1d 4814 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) ↔ (♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴))))
167164eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏)))
168 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑎‘0) = ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0))
169168eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝑎‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))
170167, 169imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))))
171166, 170imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)))))
172 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑆𝑏) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))))
173172eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) ↔ (𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))))))
174 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑏‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
175174eqeq2d 2770 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0) ↔ ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))
176173, 175imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0)) ↔ ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
177176imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) → (((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆𝑏) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝑏‘0))) ↔ ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0)))))
178171, 177rspc2va 3462 . . . . 5 ((((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) ∈ dom 𝑆 ∧ (𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1))) ∈ dom 𝑆) ∧ ∀𝑎 ∈ dom 𝑆𝑏 ∈ dom 𝑆((♯‘(𝑆𝑎)) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆𝑎) = (𝑆𝑏) → (𝑎‘0) = (𝑏‘0)))) → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
17956, 160, 16, 178syl21anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1))))) < (♯‘(𝑆𝐴)) → ((𝑆‘(𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))) = (𝑆‘(𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))))
18078, 163, 179mp2d 49 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0))
181 lbfzo0 12702 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ↔ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ ℕ)
18221, 181sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))
183 fvres 6368 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)) → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
184182, 183syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 ↾ (0..^((♯‘𝐴) − 1)))‘0) = (𝐴‘0))
185 lbfzo0 12702 . . . . 5 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) ↔ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ)
18686, 185sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
187 fvres 6368 . . . 4 (0 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
188186, 187syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 ↾ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))‘0) = (𝐵‘0))
189180, 184, 1883eqtr3d 2802 . 2 (𝜑 → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
190189, 19pm2.65i 185 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cdif 3712  c0 4058  {csn 4321  cop 4327  cotp 4329   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  1𝑜c1o 7722  2𝑜c2o 7723  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   substr csubstr 13481   splice csplice 13482  ⟨“cs2 13786   ~FG cefg 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-s2 13793
This theorem is referenced by:  efgred  18361
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