Theorem efgmf 18346

Description: The formal inverse operation is an endofunction on the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgmval.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)

Assertion

Ref	Expression
efgmf	⊢ 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)

Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐼

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem efgmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oconcl 7754	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 2𝑜 → (1𝑜 ∖ 𝑧) ∈ 2𝑜)
2		opelxpi 5305	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ (1𝑜 ∖ 𝑧) ∈ 2𝑜) → ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
3	1, 2	sylan2 492	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 2𝑜) → ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜))
4	3	rgen2 3113	. 2 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2𝑜 ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜)
5		efgmval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
6	5	fmpt2 7406	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 2𝑜 ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩ ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↔ 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜))
7	4, 6	mpbi 220	1 ⊢ 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712  ⟨cop 4327   × cxp 5264  ⟶wf 6045   ↦ cmpt2 6816  1_𝑜c1o 7723  2_𝑜c2o 7724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-2o 7731

This theorem is referenced by:  efgtf  18355  efgtlen  18359  efginvrel2  18360  efginvrel1  18361  efgredleme  18376  efgredlemc  18378  efgcpbllemb  18388  frgp0  18393  frgpinv  18397  vrgpinv  18402  frgpnabllem1  18496