Theorem efgi1 18180

Description: Value of the free group construction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
efgi1	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Proof of Theorem efgi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7612	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2	1	elexi 3244	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
3	2	prid2 4330	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
4		df2o3 7618	. . . . 5 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
5	3, 4	eleqtrri 2729	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ 2𝑜
6		efgval.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7		efgval.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
8	6, 7	efgi 18178	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ (𝐽 ∈ 𝐼 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜)) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
9	5, 8	mpanr2 720	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
10	9	3impa 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩))
11		tru 1527	. . . 4 ⊢ ⊤
12		eqidd 2652	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, 1𝑜⟩ = ⟨𝐽, 1𝑜⟩)
13		difid 3981	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ∖ 1𝑜) = ∅
14	13	opeq2i 4437	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩ = ⟨𝐽, ∅⟩)
16	12, 15	s2eqd 13654	. . . 4 ⊢ (⊤ → ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩)
17		oteq3 4444	. . . 4 ⊢ (⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩ → ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
18	11, 16, 17	mp2b 10	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩ = ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩
19	18	oveq2i 6701	. 2 ⊢ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, (1𝑜 ∖ 1𝑜)⟩”⟩⟩) = (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩)
20	10, 19	syl6breq 4726	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐴)) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∼ (𝐴 splice ⟨𝑁, 𝑁, ⟨“⟨𝐽, 1𝑜⟩⟨𝐽, ∅⟩”⟩⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604  ∅c0 3948  {cpr 4212  ⟨cop 4216  ⟨cotp 4218   class class class wbr 4685   I cid 5052   × cxp 5141  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598  2_𝑜c2o 7599  0cc0 9974  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323   splice csplice 13328  ⟨“cs2 13632   ~_FG cefg 18165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-splice 13336  df-s2 13639  df-efg 18168

This theorem is referenced by: (None)