MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbl2 18383
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
31, 2efger 18344 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → Er 𝑊)
5 simpl 475 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 𝑋)
64, 5ercl 7905 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴𝑊)
7 wrd0 13529 . . . . 5 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)
81efgrcl 18341 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
109simprd 483 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
117, 10syl5eleqr 2855 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ∅ ∈ 𝑊)
12 simpr 480 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 𝑌)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18382 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∅ ∈ 𝑊𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
186, 11, 12, 17syl3anc 1474 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
196, 10eleqtrd 2850 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
204, 12ercl 7905 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵𝑊)
2120, 10eleqtrd 2850 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
22 ccatcl 13559 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
2319, 21, 22syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
24 ccatrid 13572 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
264, 12ercl2 7907 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌𝑊)
2726, 10eleqtrd 2850 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
28 ccatcl 13559 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
2919, 27, 28syl2anc 693 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
30 ccatrid 13572 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3218, 25, 313brtr3d 4814 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝐴 ++ 𝑌))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18382 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑊𝑌𝑊𝐴 𝑋) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1474 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
35 ccatlid 13571 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 6806 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) = (𝐴 ++ 𝑌))
384, 5ercl2 7907 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋𝑊)
3938, 10eleqtrd 2850 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
40 ccatlid 13571 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 6806 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌) = (𝑋 ++ 𝑌))
4334, 37, 423brtr3d 4814 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) (𝑋 ++ 𝑌))
444, 32, 43ertrd 7910 1 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wral 3059  {crab 3063  Vcvv 3348  cdif 3717  c0 4060  {csn 4313  cop 4319  cotp 4321   ciun 4651   class class class wbr 4783  cmpt 4860   I cid 5155   × cxp 5246  ran crn 5249  cfv 6030  (class class class)co 6791  cmpt2 6793  1𝑜c1o 7704  2𝑜c2o 7705   Er wer 7891  0cc0 10136  1c1 10137  cmin 10466  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  chash 13324  Word cword 13490   ++ cconcat 13492   splice csplice 13495  ⟨“cs2 13798   ~FG cefg 18332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-2o 7712  df-oadd 7715  df-er 7894  df-ec 7896  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13325  df-word 13498  df-concat 13500  df-s1 13501  df-substr 13502  df-splice 13503  df-s2 13805  df-efg 18335
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  18385
  Copyright terms: Public domain W3C validator