MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  effsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem effsumlt 15047
Description: The partial sums of the series expansion of the exponential function of a positive real number are bounded by the value of the function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
effsumlt.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
effsumlt.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
effsumlt.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
effsumlt (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐹(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem effsumlt
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11924 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11591 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
3 effsumlt.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
43eftval 15013 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
54adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
6 effsumlt.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
76rpred 12075 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
8 reeftcl 15011 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
97, 8sylan 569 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
105, 9eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
111, 2, 10serfre 13037 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹):ℕ0⟶ℝ)
12 effsumlt.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12ffvelrnd 6503 . . 3 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℝ)
14 eqid 2771 . . . 4 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
15 peano2nn0 11535 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1612, 15syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
17 eqidd 2772 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
18 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
19 rpexpcl 13086 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
206, 18, 19syl2an 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ+)
21 faccl 13274 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2221adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322nnrpd 12073 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
2420, 23rpdivcld 12092 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
255, 24eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
267recnd 10270 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
273efcllem 15014 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
2826, 27syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
291, 14, 16, 17, 25, 28isumrpcl 14782 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
3013, 29ltaddrpd 12108 . 2 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
313efval2 15020 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3226, 31syl 17 . . 3 (𝜑 → (exp‘𝐴) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘))
3310recnd 10270 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
341, 14, 16, 17, 33, 28isumsplit 14779 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
3512nn0cnd 11555 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
36 ax-1cn 10196 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
37 pncan 10489 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3835, 36, 37sylancl 574 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
3938oveq2d 6809 . . . . . 6 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
4039sumeq1d 14639 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘))
41 eqidd 2772 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4212, 1syl6eleq 2860 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
43 elfznn0 12640 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4443, 33sylan2 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4541, 42, 44fsumser 14669 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4640, 45eqtrd 2805 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = (seq0( + , 𝐹)‘𝑁))
4746oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑁 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4832, 34, 473eqtrd 2809 . 2 (𝜑 → (exp‘𝐴) = ((seq0( + , 𝐹)‘𝑁) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))(𝐹𝑘)))
4930, 48breqtrrd 4814 1 (𝜑 → (seq0( + , 𝐹)‘𝑁) < (exp‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  !cfa 13264  cli 14423  Σcsu 14624  expce 14998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004
This theorem is referenced by:  efgt1p2  15050  efgt1p  15051
  Copyright terms: Public domain W3C validator