MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efeq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efeq1 24474
Description: A complex number whose exponential is one is an integer multiple of 2πi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
efeq1 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))

Proof of Theorem efeq1
StepHypRef Expression
1 halfcl 11449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
2 ax-icn 10187 . . . . 5 i ∈ ℂ
3 ine0 10657 . . . . 5 i ≠ 0
4 divcl 10883 . . . . 5 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
52, 3, 4mp3an23 1565 . . . 4 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
61, 5syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ)
7 sineq0 24472 . . 3 (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
86, 7syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ))
9 sinval 15051 . . . . . 6 (((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
106, 9syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)))
11 divcan2 10885 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
122, 3, 11mp3an23 1565 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
131, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((𝐴 / 2) / i)) = (𝐴 / 2))
1413fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘(𝐴 / 2)))
15 mulneg1 10658 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ ((𝐴 / 2) / i) ∈ ℂ) → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
162, 6, 15sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(i · ((𝐴 / 2) / i)))
1713negeqd 10467 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
1816, 17eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · ((𝐴 / 2) / i)) = -(𝐴 / 2))
1918fveq2d 6356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i))) = (exp‘-(𝐴 / 2)))
2014, 19oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))))
2120oveq1d 6828 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · ((𝐴 / 2) / i))) − (exp‘(-i · ((𝐴 / 2) / i)))) / (2 · i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
2210, 21eqtrd 2794 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((𝐴 / 2) / i)) = (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)))
2322eqeq1d 2762 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0))
24 efcl 15012 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
251, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
261negcld 10571 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → -(𝐴 / 2) ∈ ℂ)
27 efcl 15012 . . . . . 6 (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
2925, 28subcld 10584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
30 2cn 11283 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
3130, 2mulcli 10237 . . . . 5 (2 · i) ∈ ℂ
32 2ne0 11305 . . . . . 6 2 ≠ 0
3330, 2, 32, 3mulne0i 10862 . . . . 5 (2 · i) ≠ 0
34 diveq0 10887 . . . . 5 ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
3531, 33, 34mp3an23 1565 . . . 4 (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
3629, 35syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (2 · i)) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
37 efne0 15026 . . . . . . . 8 (-(𝐴 / 2) ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3826, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-(𝐴 / 2)) ≠ 0)
3925, 28, 28, 38divsubdird 11032 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))))
40 efsub 15029 . . . . . . . . 9 (((𝐴 / 2) ∈ ℂ ∧ -(𝐴 / 2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
411, 26, 40syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))))
421, 1subnegd 10591 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
43 2halves 11452 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
4442, 43eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2)) = 𝐴)
4544fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘((𝐴 / 2) − -(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
4641, 45eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = (exp‘𝐴))
4728, 38dividd 10991 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 1)
4846, 47oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2))) − ((exp‘-(𝐴 / 2)) / (exp‘-(𝐴 / 2)))) = ((exp‘𝐴) − 1))
4939, 48eqtrd 2794 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = ((exp‘𝐴) − 1))
5049eqeq1d 2762 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘𝐴) − 1) = 0))
5129, 28, 38diveq0ad 11003 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) / (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ ((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0))
52 efcl 15012 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
53 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
54 subeq0 10499 . . . . 5 (((exp‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
5552, 53, 54sylancl 697 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − 1) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
5650, 51, 553bitr3d 298 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(𝐴 / 2)) − (exp‘-(𝐴 / 2))) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
5723, 36, 563bitrd 294 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘((𝐴 / 2) / i)) = 0 ↔ (exp‘𝐴) = 1))
58 2cnne0 11434 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
592, 3pm3.2i 470 . . . . . 6 (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)
60 divdiv32 10925 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0)) → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
6158, 59, 60mp3an23 1565 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) / i) = ((𝐴 / i) / 2))
6261oveq1d 6828 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (((𝐴 / i) / 2) / π))
63 divcl 10883 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
642, 3, 63mp3an23 1565 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / i) ∈ ℂ)
65 picn 24410 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
66 pire 24409 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
67 pipos 24411 . . . . . . . . 9 0 < π
6866, 67gt0ne0ii 10756 . . . . . . . 8 π ≠ 0
6965, 68pm3.2i 470 . . . . . . 7 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
70 divdiv1 10928 . . . . . . 7 (((𝐴 / i) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
7158, 69, 70mp3an23 1565 . . . . . 6 ((𝐴 / i) ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
7264, 71syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = ((𝐴 / i) / (2 · π)))
7330, 65mulcli 10237 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℂ
7430, 65, 32, 68mulne0i 10862 . . . . . . 7 (2 · π) ≠ 0
7573, 74pm3.2i 470 . . . . . 6 ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)
76 divdiv1 10928 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0) ∧ ((2 · π) ∈ ℂ ∧ (2 · π) ≠ 0)) → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
7759, 75, 76mp3an23 1565 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / i) / (2 · π)) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
7872, 77eqtrd 2794 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / i) / 2) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
7962, 78eqtrd 2794 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) / i) / π) = (𝐴 / (i · (2 · π))))
8079eleq1d 2824 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((((𝐴 / 2) / i) / π) ∈ ℤ ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
818, 57, 803bitr3d 298 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) = 1 ↔ (𝐴 / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  cz 11569  expce 14991  sincsin 14993  πcpi 14996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  efif1olem4  24490  eflogeq  24547  root1eq1  24695  ang180lem1  24738  proot1ex  38281
  Copyright terms: Public domain W3C validator