MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcvx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcvx 24248
Description: The exponential function on the reals is a strictly convex function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
efcvx (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))

Proof of Theorem efcvx
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpl2 1085 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3 simpl3 1086 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 < 𝐵)
4 reeff1o 24246 . . . . . . 7 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
5 f1of 6175 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
7 rpssre 11881 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
8 fss 6094 . . . . . 6 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
96, 7, 8mp2an 708 . . . . 5 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
10 iccssre 12293 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
111, 2, 10syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 fssres2 6110 . . . . 5 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
139, 11, 12sylancr 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
14 ax-resscn 10031 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
1511, 14syl6ss 3648 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
16 efcn 24242 . . . . . 6 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
17 rescncf 22747 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → (exp ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19 cncffvrn 22748 . . . . 5 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
2014, 18, 19sylancr 696 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)):(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ))
2113, 20mpbird 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
22 reefiso 24247 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+)
2322a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+))
24 ioossre 12273 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
26 eqidd 2652 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)) = ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))
27 isores3 6625 . . . . 5 (((exp ↾ ℝ) Isom < , < (ℝ, ℝ+) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)) = ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
29 ssid 3657 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
30 fss 6094 . . . . . . . . 9 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ)
319, 14, 30mp2an 708 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ
32 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3332tgioo2 22653 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3432, 33dvres 23720 . . . . . . . 8 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3514, 31, 34mpanl12 718 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3629, 11, 35sylancr 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
3711resabs1d 5463 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (exp ↾ (𝐴[,]𝐵)))
3837oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))))
39 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40 eff 14856 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
41 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
42 dvef 23788 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
4342dmeqi 5357 . . . . . . . . . . . 12 dom (ℂ D exp) = dom exp
4440fdmi 6090 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = ℂ
4543, 44eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 dom (ℂ D exp) = ℂ
4614, 45sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ dom (ℂ D exp)
47 dvres3 23722 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ exp:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D exp))) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ))
4839, 40, 41, 46, 47mp4an 709 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ)
4942reseq1i 5424 . . . . . . . . 9 ((ℂ D exp) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ)
5048, 49eqtri 2673 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ)
5150a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ))
52 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
531, 2, 52syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5451, 53reseq12d 5429 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
5536, 38, 543eqtr3d 2693 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
56 isoeq1 6607 . . . . 5 ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) ↔ ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))))
5755, 56syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))) ↔ ((exp ↾ ℝ) ↾ (𝐴(,)𝐵)) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵)))))
5828, 57mpbird 247 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (ℝ D (exp ↾ (𝐴[,]𝐵))) Isom < , < ((𝐴(,)𝐵), ((exp ↾ ℝ) “ (𝐴(,)𝐵))))
59 simpr 476 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
60 eqid 2651 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))
611, 2, 3, 21, 58, 59, 60dvcvx 23828 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵))))
62 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
63 ioossre 12273 . . . . . . . . 9 (0(,)1) ⊆ ℝ
6463, 59sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℝ)
6564recnd 10106 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ ℂ)
66 nncan 10348 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
6762, 65, 66sylancr 696 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
6867oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) = (𝑇 · 𝐴))
6968oveq1d 6705 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) = ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)))
70 ioossicc 12297 . . . . . . 7 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
7170, 59sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
72 iirev 22775 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1))
74 lincmb01cmp 12353 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (1 − 𝑇) ∈ (0[,]1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7573, 74syldan 486 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (((1 − (1 − 𝑇)) · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7669, 75eqeltrrd 2731 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
77 fvres 6245 . . 3 (((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
7876, 77syl 17 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) = (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))))
791rexrd 10127 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
802rexrd 10127 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
811, 2, 3ltled 10223 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴𝐵)
82 lbicc2 12326 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8379, 80, 81, 82syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84 fvres 6245 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (exp‘𝐴))
8583, 84syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (exp‘𝐴))
8685oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = (𝑇 · (exp‘𝐴)))
87 ubicc2 12327 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8879, 80, 81, 87syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
89 fvres 6245 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (exp‘𝐵))
9088, 89syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (exp‘𝐵))
9190oveq2d 6706 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵)) = ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵)))
9286, 91oveq12d 6708 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑇 · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · ((exp ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵))) = ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))
9361, 78, 923brtr3d 4716 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (exp‘((𝑇 · 𝐴) + ((1 − 𝑇) · 𝐵))) < ((𝑇 · (exp‘𝐴)) + ((1 − 𝑇) · (exp‘𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  wf 5922  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  expce 14836  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator