Theorem efcj 14866

Description: Exponential function of a complex conjugate. Equation 3 of [Gleason] p. 308. (Contributed by NM, 29-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efcj	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Proof of Theorem efcj

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 13889	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
2		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3	2	efcvg 14859	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)))
5		nn0uz 11760	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7	6	efcvg 14859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘𝐴))
8		seqex 12843	. . . 4 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V)
10		0zd 11427	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
11	6	eftval 14851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
13		eftcl 14848	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
14	12, 13	eqeltrd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
15	5, 10, 14	serf 12869	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
16	15	ffvelrnda 6399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
17		addcl 10056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑚) ∈ ℂ)
19		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
20		elfznn0 12471	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ0)
21	19, 20, 14	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
22		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
23	22, 5	syl6eleq 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘0))
24		cjadd 13925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
25	24	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ)) → (∗‘(𝑘 + 𝑚)) = ((∗‘𝑘) + (∗‘𝑚)))
26		expcl 12918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
27		faccl 13110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
29	28	nncnd 11074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
30	28	nnne0d 11103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≠ 0)
31	26, 29, 30	cjdivd 14007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = ((∗‘(𝐴↑𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))))
32		cjexp 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(𝐴↑𝑘)) = ((∗‘𝐴)↑𝑘))
33	28	nnred 11073	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
34	33	cjred 14010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘(!‘𝑘)) = (!‘𝑘))
35	32, 34	oveq12d 6708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∗‘(𝐴↑𝑘)) / (∗‘(!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
36	31, 35	eqtrd 2685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
37	12	fveq2d 6233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (∗‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
38	2	eftval 14851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
39	38	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (((∗‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
40	36, 37, 39	3eqtr4d 2695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
41	19, 20, 40	syl2an 493	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑗)) → (∗‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
42	18, 21, 23, 25, 41	seqhomo 12888	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)) = (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗))
43	42	eqcomd 2657	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗) = (∗‘(seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛))))‘𝑗)))
44	5, 7, 9, 10, 16, 43	climcj 14379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴)))
45		climuni 14327	. 2 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘(∗‘𝐴)) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((∗‘𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (∗‘(exp‘𝐴))) → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))
46	4, 44, 45	syl2anc 694	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(∗‘𝐴)) = (∗‘(exp‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330  ℤ_≥cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  ↑cexp 12900  !cfa 13100  ∗ccj 13880   ⇝ cli 14259  expce 14836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842

This theorem is referenced by:  resinval  14909  recosval  14910  logcj  24397  cosargd  24399