MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 14858
Description: Lemma for sin01bnd 14859 and cos01bnd 14860. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9955 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 10046 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 9999 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12194 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10028 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 9980 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 694 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11271 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 14781 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 14125 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 12833 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 693 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 11057 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 10013 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 13026 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11147 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 11004 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 11016 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 707 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 9981 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 693 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11149 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 11016 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 693 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2621 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2621 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 13984 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 13976 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 6625 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1075 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 11829 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 11799 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 11805 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 14111 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 10018 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2659 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1076 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 4645 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 14783 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 6630 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 6630 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 4649 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 11074 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 10000 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 11054 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 11059 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 10542 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 220 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 11060 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10184 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 12919 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11126 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3nn 11146 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
6463nncni 10990 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6559, 64addcomi 10187 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6661, 62, 653eqtr2ri 2650 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6758, 60, 663brtr3i 4652 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
68 2re 11050 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
69 1le2 11201 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
70 4z 11371 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
71 3lt4 11157 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7255, 17, 71ltleii 10120 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
7363nnzi 11361 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7473eluz1i 11655 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7570, 72, 74mpbir2an 954 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
76 leexp2a 12872 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7768, 69, 75, 76mp3an 1421 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
78 8re 11065 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7961, 78eqeltri 2694 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
80 2nn 11145 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
81 nnexpcl 12829 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8280, 10, 81mp2an 707 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8382nnrei 10989 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8456, 79, 83ltletri 10125 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8567, 77, 84mp2an 707 . . . . . 6 5 < (2↑4)
86 6re 11061 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8786, 83remulcli 10014 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
88 6pos 11079 . . . . . . . 8 0 < 6
8982nngt0i 11014 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
9086, 83, 88, 89mulgt0ii 10130 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9156, 83, 87, 90ltdiv1ii 10913 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9285, 91mpbi 220 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
93 df-5 11042 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
94 df-4 11041 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9594fveq2i 6161 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
96 3nn0 11270 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
97 facp1 13021 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
99 sq2 12916 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
10099, 94eqtr2i 2644 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
101100oveq2i 6626 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10295, 98, 1013eqtri 2647 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
103102oveq1i 6625 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10499oveq2i 6626 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
105 fac3 13023 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
106 6cn 11062 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
107105, 106eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10817recni 10012 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10999, 108eqeltri 2694 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
110107, 109, 109mulassi 10009 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111103, 104, 1103eqtr3i 2651 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
112 2p2e4 11104 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
113112oveq2i 6626 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
114 2cn 11051 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
115 2nn0 11269 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
116 expadd 12858 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
117114, 115, 115, 116mp3an 1421 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
118113, 117eqtr3i 2645 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
119118oveq2i 6626 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
120105oveq1i 6625 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
121111, 119, 1203eqtr2ri 2650 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12293, 121oveq12i 6627 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12382nncni 10990 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
124123mulid2i 10003 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
125124oveq1i 6625 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12682nnne0i 11015 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
127123, 126dividi 10718 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
128127oveq2i 6626 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
129 ax-1cn 9954 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
13086, 88gt0ne0ii 10524 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
131129, 106, 123, 123, 130, 126divmuldivi 10745 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13286, 130rereccli 10750 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
133132recni 10012 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
134133mulid1i 10002 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
135128, 131, 1343eqtr3i 2651 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136125, 135eqtr3i 2645 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13792, 122, 1363brtr3i 4652 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
138 rpexpcl 12835 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13938, 70, 138sylancl 693 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
140 elrp 11794 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
141 ltmul2 10834 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14224, 132, 141mp3an12 1411 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143140, 142sylbi 207 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144139, 143syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
145137, 144mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14616recnd 10028 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
147 divrec 10661 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148106, 130, 147mp3an23 1413 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149146, 148syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
150145, 149breqtrrd 4651 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15114, 26, 29, 52, 150lelttrd 10155 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  4c4 11032  5c5 11033  6c6 11034  8c8 11036  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  +crp 11792  (,]cioc 12134  cexp 12816  !cfa 13016  abscabs 13924  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  sin01bnd  14859  cos01bnd  14860
  Copyright terms: Public domain W3C validator