MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ef01bndlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ef01bndlem 15113
Description: Lemma for sin01bnd 15114 and cos01bnd 15115. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Hypothesis
Ref Expression
ef01bnd.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ef01bndlem (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem ef01bndlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 10187 . . . . 5 i ∈ ℂ
2 0xr 10278 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
3 1re 10231 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 elioc2 12429 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
52, 3, 4mp2an 710 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
65simp1bi 1140 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
76recnd 10260 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 mulcl 10212 . . . . 5 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
91, 7, 8sylancr 698 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
10 4nn0 11503 . . . 4 4 ∈ ℕ0
11 ef01bnd.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
1211eftlcl 15036 . . . 4 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
139, 10, 12sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413abscld 14374 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 reexpcl 13071 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
166, 10, 15sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
17 4re 11289 . . . . 5 4 ∈ ℝ
1817, 3readdcli 10245 . . . 4 (4 + 1) ∈ ℝ
19 faccl 13264 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ0 → (!‘4) ∈ ℕ)
2010, 19ax-mp 5 . . . . 5 (!‘4) ∈ ℕ
21 4nn 11379 . . . . 5 4 ∈ ℕ
2220, 21nnmulcli 11236 . . . 4 ((!‘4) · 4) ∈ ℕ
23 nndivre 11248 . . . 4 (((4 + 1) ∈ ℝ ∧ ((!‘4) · 4) ∈ ℕ) → ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ)
2418, 22, 23mp2an 710 . . 3 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ
25 remulcl 10213 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
2616, 24, 25sylancl 697 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) ∈ ℝ)
27 6nn 11381 . . 3 6 ∈ ℕ
28 nndivre 11248 . . 3 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
2916, 27, 28sylancl 697 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
30 eqid 2760 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘(i · 𝐴))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
31 eqid 2760 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘(i · 𝐴))↑4) / (!‘4)) · ((1 / (4 + 1))↑𝑛)))
3221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ ℕ)
33 absmul 14233 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
341, 7, 33sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = ((abs‘i) · (abs‘𝐴)))
35 absi 14225 . . . . . . . 8 (abs‘i) = 1
3635oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · (abs‘𝐴))
375simp2bi 1141 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
386, 37elrpd 12062 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ+)
39 rpre 12032 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
40 rpge0 12038 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
4139, 40absidd 14360 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4238, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
4342oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
4436, 43syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘i) · (abs‘𝐴)) = (1 · 𝐴))
457mulid2d 10250 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4634, 44, 453eqtrd 2798 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) = 𝐴)
475simp3bi 1142 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
4846, 47eqbrtrd 4826 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(i · 𝐴)) ≤ 1)
4911, 30, 31, 32, 9, 48eftlub 15038 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5046oveq1d 6828 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘(i · 𝐴))↑4) = (𝐴↑4))
5150oveq1d 6828 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((abs‘(i · 𝐴))↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) = ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
5249, 51breqtrd 4830 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) ≤ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))))
53 3pos 11306 . . . . . . . . 9 0 < 3
54 0re 10232 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
55 3re 11286 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
56 5re 11291 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℝ
5754, 55, 56ltadd1i 10774 . . . . . . . . 9 (0 < 3 ↔ (0 + 5) < (3 + 5))
5853, 57mpbi 220 . . . . . . . 8 (0 + 5) < (3 + 5)
59 5cn 11292 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
6059addid2i 10416 . . . . . . . 8 (0 + 5) = 5
61 cu2 13157 . . . . . . . . 9 (2↑3) = 8
62 5p3e8 11358 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = 8
63 3nn 11378 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
6463nncni 11222 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℂ
6559, 64addcomi 10419 . . . . . . . . 9 (5 + 3) = (3 + 5)
6661, 62, 653eqtr2ri 2789 . . . . . . . 8 (3 + 5) = (2↑3)
6758, 60, 663brtr3i 4833 . . . . . . 7 5 < (2↑3)
68 2re 11282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
69 1le2 11433 . . . . . . . 8 1 ≤ 2
70 4z 11603 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
71 3lt4 11389 . . . . . . . . . 10 3 < 4
7255, 17, 71ltleii 10352 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
7363nnzi 11593 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
7473eluz1i 11887 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
7570, 72, 74mpbir2an 993 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
76 leexp2a 13110 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2 ∧ 4 ∈ (ℤ‘3)) → (2↑3) ≤ (2↑4))
7768, 69, 75, 76mp3an 1573 . . . . . . 7 (2↑3) ≤ (2↑4)
78 8re 11297 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
7961, 78eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (2↑3) ∈ ℝ
80 2nn 11377 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
81 nnexpcl 13067 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (2↑4) ∈ ℕ)
8280, 10, 81mp2an 710 . . . . . . . . 9 (2↑4) ∈ ℕ
8382nnrei 11221 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℝ
8456, 79, 83ltletri 10357 . . . . . . 7 ((5 < (2↑3) ∧ (2↑3) ≤ (2↑4)) → 5 < (2↑4))
8567, 77, 84mp2an 710 . . . . . 6 5 < (2↑4)
86 6re 11293 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
8786, 83remulcli 10246 . . . . . . 7 (6 · (2↑4)) ∈ ℝ
88 6pos 11311 . . . . . . . 8 0 < 6
8982nngt0i 11246 . . . . . . . 8 0 < (2↑4)
9086, 83, 88, 89mulgt0ii 10362 . . . . . . 7 0 < (6 · (2↑4))
9156, 83, 87, 90ltdiv1ii 11145 . . . . . 6 (5 < (2↑4) ↔ (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4))))
9285, 91mpbi 220 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) < ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
93 df-5 11274 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
94 df-4 11273 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
9594fveq2i 6355 . . . . . . . . . 10 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
96 3nn0 11502 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
97 facp1 13259 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
9896, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
99 sq2 13154 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
10099, 94eqtr2i 2783 . . . . . . . . . . 11 (3 + 1) = (2↑2)
101100oveq2i 6824 . . . . . . . . . 10 ((!‘3) · (3 + 1)) = ((!‘3) · (2↑2))
10295, 98, 1013eqtri 2786 . . . . . . . . 9 (!‘4) = ((!‘3) · (2↑2))
103102oveq1i 6823 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2))
10499oveq2i 6824 . . . . . . . 8 ((!‘4) · (2↑2)) = ((!‘4) · 4)
105 fac3 13261 . . . . . . . . . 10 (!‘3) = 6
106 6cn 11294 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
107105, 106eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (!‘3) ∈ ℂ
10817recni 10244 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℂ
10999, 108eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (2↑2) ∈ ℂ
110107, 109, 109mulassi 10241 . . . . . . . 8 (((!‘3) · (2↑2)) · (2↑2)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
111103, 104, 1103eqtr3i 2790 . . . . . . 7 ((!‘4) · 4) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
112 2p2e4 11336 . . . . . . . . . 10 (2 + 2) = 4
113112oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = (2↑4)
114 2cn 11283 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
115 2nn0 11501 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
116 expadd 13096 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2)))
117114, 115, 115, 116mp3an 1573 . . . . . . . . 9 (2↑(2 + 2)) = ((2↑2) · (2↑2))
118113, 117eqtr3i 2784 . . . . . . . 8 (2↑4) = ((2↑2) · (2↑2))
119118oveq2i 6824 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = ((!‘3) · ((2↑2) · (2↑2)))
120105oveq1i 6823 . . . . . . 7 ((!‘3) · (2↑4)) = (6 · (2↑4))
121111, 119, 1203eqtr2ri 2789 . . . . . 6 (6 · (2↑4)) = ((!‘4) · 4)
12293, 121oveq12i 6825 . . . . 5 (5 / (6 · (2↑4))) = ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))
12382nncni 11222 . . . . . . . 8 (2↑4) ∈ ℂ
124123mulid2i 10235 . . . . . . 7 (1 · (2↑4)) = (2↑4)
125124oveq1i 6823 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = ((2↑4) / (6 · (2↑4)))
12682nnne0i 11247 . . . . . . . . 9 (2↑4) ≠ 0
127123, 126dividi 10950 . . . . . . . 8 ((2↑4) / (2↑4)) = 1
128127oveq2i 6824 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 / 6) · 1)
129 ax-1cn 10186 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
13086, 88gt0ne0ii 10756 . . . . . . . 8 6 ≠ 0
131129, 106, 123, 123, 130, 126divmuldivi 10977 . . . . . . 7 ((1 / 6) · ((2↑4) / (2↑4))) = ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4)))
13286, 130rereccli 10982 . . . . . . . . 9 (1 / 6) ∈ ℝ
133132recni 10244 . . . . . . . 8 (1 / 6) ∈ ℂ
134133mulid1i 10234 . . . . . . 7 ((1 / 6) · 1) = (1 / 6)
135128, 131, 1343eqtr3i 2790 . . . . . 6 ((1 · (2↑4)) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
136125, 135eqtr3i 2784 . . . . 5 ((2↑4) / (6 · (2↑4))) = (1 / 6)
13792, 122, 1363brtr3i 4833 . . . 4 ((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6)
138 rpexpcl 13073 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
13938, 70, 138sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ+)
140 elrp 12027 . . . . . 6 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)))
141 ltmul2 11066 . . . . . . 7 ((((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) ∈ ℝ ∧ (1 / 6) ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4))) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
14224, 132, 141mp3an12 1563 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴↑4)) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
143140, 142sylbi 207 . . . . 5 ((𝐴↑4) ∈ ℝ+ → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
144139, 143syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((4 + 1) / ((!‘4) · 4)) < (1 / 6) ↔ ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6))))
145137, 144mpbii 223 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
14616recnd 10260 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℂ)
147 divrec 10893 . . . . 5 (((𝐴↑4) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
148106, 130, 147mp3an23 1565 . . . 4 ((𝐴↑4) ∈ ℂ → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
149146, 148syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) = ((𝐴↑4) · (1 / 6)))
150145, 149breqtrrd 4832 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) · ((4 + 1) / ((!‘4) · 4))) < ((𝐴↑4) / 6))
15114, 26, 29, 52, 150lelttrd 10387 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)(𝐹𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  4c4 11264  5c5 11265  6c6 11266  8c8 11268  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  +crp 12025  (,]cioc 12369  cexp 13054  !cfa 13254  abscabs 14173  Σcsu 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  sin01bnd  15114  cos01bnd  15115
  Copyright terms: Public domain W3C validator