Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eengstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eengstr 25905
 Description: The Euclidean geometry as a structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
eengstr (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)

Proof of Theorem eengstr
Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eengv 25904 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) = ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}))
2 1nn 11069 . . . 4 1 ∈ ℕ
3 basendx 15970 . . . 4 (Base‘ndx) = 1
4 2nn0 11347 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
5 1nn0 11346 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 11719 . . . . 5 1 < 10
72, 4, 5, 6declti 11584 . . . 4 1 < 12
8 2nn 11223 . . . . 5 2 ∈ ℕ
95, 8decnncl 11556 . . . 4 12 ∈ ℕ
10 dsndx 16109 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
112, 3, 7, 9, 10strle2 16021 . . 3 {⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} Struct ⟨1, 12⟩
12 6nn 11227 . . . . 5 6 ∈ ℕ
135, 12decnncl 11556 . . . 4 16 ∈ ℕ
14 itvndx 25384 . . . 4 (Itv‘ndx) = 16
15 6nn0 11351 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
16 7nn 11228 . . . . 5 7 ∈ ℕ
17 6lt7 11247 . . . . 5 6 < 7
185, 15, 16, 17declt 11568 . . . 4 16 < 17
195, 16decnncl 11556 . . . 4 17 ∈ ℕ
20 lngndx 25385 . . . 4 (LineG‘ndx) = 17
2113, 14, 18, 19, 20strle2 16021 . . 3 {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩} Struct ⟨16, 17⟩
22 2lt6 11245 . . . 4 2 < 6
235, 4, 12, 22declt 11568 . . 3 12 < 16
2411, 21, 23strleun 16019 . 2 ({⟨(Base‘ndx), (𝔼‘𝑁)⟩, ⟨(dist‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝑥𝑖) − (𝑦𝑖))↑2))⟩} ∪ {⟨(Itv‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ (𝔼‘𝑁) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ 𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩})⟩, ⟨(LineG‘ndx), (𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁), 𝑦 ∈ ((𝔼‘𝑁) ∖ {𝑥}) ↦ {𝑧 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑧 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∨ 𝑥 Btwn ⟨𝑧, 𝑦⟩ ∨ 𝑦 Btwn ⟨𝑥, 𝑧⟩)})⟩}) Struct ⟨1, 17⟩
251, 24syl6eqbr 4724 1 (𝑁 ∈ ℕ → (EEG‘𝑁) Struct ⟨1, 17⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1053   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  1c1 9975   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  6c6 11112  7c7 11113  ;cdc 11531  ...cfz 12364  ↑cexp 12900  Σcsu 14460   Struct cstr 15900  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  distcds 15997  Itvcitv 25380  LineGclng 25381  𝔼cee 25813   Btwn cbtwn 25814  EEGceeng 25902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-ds 16011  df-itv 25382  df-lng 25383  df-eeng 25903 This theorem is referenced by:  eengbas  25906  ebtwntg  25907  ecgrtg  25908  elntg  25909
 Copyright terms: Public domain W3C validator