Theorem eclclwwlkn1 27230

Description: An equivalence class according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
eclclwwlkn1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝑊   𝑥, ∼ ,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑁   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑢,𝑡,𝑛)   ∼ (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem eclclwwlkn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsecl 7952	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦}))
2		erclwwlkn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
3		erclwwlkn.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
4	2, 3	erclwwlknsym 27225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑦 → 𝑦 ∼ 𝑥)
5	2, 3	erclwwlknsym 27225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∼ 𝑥 → 𝑥 ∼ 𝑦)
6	4, 5	impbii 199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ 𝑦 ∼ 𝑥)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ 𝑦 ∼ 𝑥))
8	7	abbidv 2889	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} = {𝑦 ∣ 𝑦 ∼ 𝑥})
9		vex 3352	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
10		vex 3352	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
11	2, 3	erclwwlkneq 27222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
12	9, 10, 11	mp2an 664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
14	13	abbidv 2889	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑦 ∼ 𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
15		3anan12 1080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
16		ibar 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))))
17	16	bicomd 213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
18	17	adantl 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
19	15, 18	syl5bb 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
20	19	abbidv 2889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
21		df-rab 3069	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))}
22	20, 21	syl6eqr 2822	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
23	8, 14, 22	3eqtrd 2808	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
24	23	eqeq2d 2780	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} ↔ 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
25	24	rexbidva 3196	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
26	1, 25	bitrd 268	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {cab 2756  ∃wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  {copab 4844  (class class class)co 6792   / cqs 7894  0cc0 10137  ...cfz 12532   cyclShift ccsh 13742   ClWWalksN cclwwlkn 27171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-substr 13498  df-csh 13743  df-clwwlk 27129  df-clwwlkn 27173

This theorem is referenced by:  eleclclwwlkn  27231  hashecclwwlkn1  27232  umgrhashecclwwlk  27233