Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocuni 30473
Description: Every open set of (ℝ × ℝ) is a union of closed-below open-above dyadic rational rectangular subsets of (ℝ × ℝ). This union must be a countable union by dya2iocct 30470. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2ioc.2 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
Assertion
Ref Expression
dya2iocuni (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑣,𝑢,𝐼,𝑥   𝑢,𝑐,𝑣,𝐴   𝑅,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛)   𝐼(𝑛,𝑐)   𝐽(𝑥,𝑣,𝑢,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem dya2iocuni
Dummy variables 𝑚 𝑝 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅
2 sxbrsiga.0 . . . . . . . 8 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 dya2ioc.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
4 dya2ioc.2 . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑢 ∈ ran 𝐼, 𝑣 ∈ ran 𝐼 ↦ (𝑢 × 𝑣))
52, 3, 4dya2iocrfn 30469 . . . . . . 7 𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼)
6 zex 11424 . . . . . . . . . . 11 ℤ ∈ V
76, 6mpt2ex 7292 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛)))) ∈ V
83, 7eqeltri 2726 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
98rnex 7142 . . . . . . . 8 ran 𝐼 ∈ V
109, 9xpex 7004 . . . . . . 7 (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V
11 fnex 6522 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∧ (ran 𝐼 × ran 𝐼) ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
125, 10, 11mp2an 708 . . . . . 6 𝑅 ∈ V
1312rnex 7142 . . . . 5 ran 𝑅 ∈ V
1413elpw2 4858 . . . 4 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 ↔ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ ran 𝑅)
151, 14mpbir 221 . . 3 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅
1615a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅)
17 rex0 3971 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)
18 rexeq 3169 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ ∅ (𝑧𝑏𝑏𝐴)))
1917, 18mtbiri 316 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2019ralrimivw 2996 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
21 rabeq0 3990 . . . . . . . . 9 ({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅ ↔ ∀𝑏 ∈ ran 𝑅 ¬ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴))
2220, 21sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
2322unieqd 4478 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
24 uni0 4497 . . . . . . 7 ∅ = ∅
2523, 24syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = ∅)
26 0ss 4005 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝐴
2725, 26syl6eqss 3688 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
28 elequ2 2044 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑧𝑏𝑧𝑝))
29 sseq1 3659 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑝 → (𝑏𝐴𝑝𝐴))
3028, 29anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑝 → ((𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3130rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑝 → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
3231elrab 3396 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
33 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴)
3433reximi 3040 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴)
35 r19.9rzv 4098 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝𝐴 ↔ ∃𝑧𝐴 𝑝𝐴))
3634, 35syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴) → 𝑝𝐴))
3736adantld 482 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝𝐴))
3832, 37syl5bi 232 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑝𝐴))
3938ralrimiv 2994 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
40 unissb 4501 . . . . . 6 ( {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑝𝐴)
4139, 40sylibr 224 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
4227, 41pm2.61ine 2906 . . . 4 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴
4342a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ⊆ 𝐴)
442, 3, 4dya2iocnei 30472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴))
45 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ ran 𝑅)
46 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝐴𝑚𝑝) → 𝑚𝐴)
4746ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚𝑝𝑝𝐴) → 𝑚𝐴)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝐴)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑚𝑝𝑝𝐴))
50 elequ1 2037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑝𝑚𝑝))
5150anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑚 → ((𝑧𝑝𝑝𝐴) ↔ (𝑚𝑝𝑝𝐴)))
5251rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚𝐴 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5348, 49, 52syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴))
5445, 53jca 553 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑝𝑝𝐴)))
5554, 32sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
56 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → 𝑚𝑝)
5755, 56jca 553 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ran 𝑅 ∧ (𝑚𝑝𝑝𝐴)) → (𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∧ 𝑚𝑝))
5857reximi2 3039 . . . . . . 7 (∃𝑝 ∈ ran 𝑅(𝑚𝑝𝑝𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
5944, 58syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
60 eluni2 4472 . . . . . 6 (𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ↔ ∃𝑝 ∈ {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}𝑚𝑝)
6159, 60sylibr 224 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6261ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → (𝑚𝐴𝑚 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)}))
6362ssrdv 3642 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → 𝐴 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6443, 63eqssd 3653 . 2 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴)
65 unieq 4476 . . . 4 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → 𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)})
6665eqeq1d 2653 . . 3 (𝑐 = {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} → ( 𝑐 = 𝐴 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴))
6766rspcev 3340 . 2 (({𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} ∈ 𝒫 ran 𝑅 {𝑏 ∈ ran 𝑅 ∣ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑏𝑏𝐴)} = 𝐴) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
6816, 64, 67syl2anc 694 1 (𝐴 ∈ (𝐽 ×t 𝐽) → ∃𝑐 ∈ 𝒫 ran 𝑅 𝑐 = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   × cxp 5141  ran crn 5144   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1c1 9975   + caddc 9977   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  cexp 12900  topGenctg 16145   ×t ctx 21411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-fcls 21792  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-logb 24548
This theorem is referenced by:  dya2iocucvr  30474  sxbrsigalem1  30475
  Copyright terms: Public domain W3C validator