Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2iocbrsiga Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2iocbrsiga 30617
Description: Dyadic intervals are Borel sets of . (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2iocbrsiga ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . 3 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . 3 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
31, 2dya2iocival 30615 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
4 mnfxr 10259 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
6 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
76zred 11645 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 2rp 12001 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
10 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
119, 10rpexpcld 13197 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
127, 11rerpdivcld 12067 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1312rexrd 10252 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
14 1red 10218 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
157, 14readdcld 10232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
1615, 11rerpdivcld 12067 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1716rexrd 10252 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
18 mnflt 12121 . . . . 5 ((𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
1912, 18syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
20 difioo 29824 . . . 4 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁))) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
215, 13, 17, 19, 20syl31anc 1466 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
22 brsigarn 30527 . . . . 5 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
23 elrnsiga 30469 . . . . 5 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 𝔅 ran sigAlgebra
25 retop 22737 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26 iooretop 22741 . . . . . 6 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
27 elsigagen 30490 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
2825, 26, 27mp2an 710 . . . . 5 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
29 df-brsiga 30525 . . . . 5 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3028, 29eleqtrri 2826 . . . 4 (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
31 iooretop 22741 . . . . . 6 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
32 elsigagen 30490 . . . . . 6 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
3325, 31, 32mp2an 710 . . . . 5 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
3433, 29eleqtrri 2826 . . . 4 (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅
35 difelsiga 30476 . . . 4 ((𝔅 ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅 ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅)
3624, 30, 34, 35mp3an 1561 . . 3 ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅
3721, 36syl6eqelr 2836 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅)
383, 37eqeltrd 2827 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  cdif 3700   cuni 4576   class class class wbr 4792  ran crn 5255  cfv 6037  (class class class)co 6801  cmpt2 6803  cr 10098  1c1 10100   + caddc 10102  -∞cmnf 10235  *cxr 10236   < clt 10237   / cdiv 10847  2c2 11233  cz 11540  +crp 11996  (,)cioo 12339  [,)cico 12341  cexp 13025  topGenctg 16271  Topctop 20871  sigAlgebracsiga 30450  sigaGencsigagen 30481  𝔅cbrsiga 30524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-ac2 9448  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-ac 9100  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-seq 12967  df-exp 13026  df-topgen 16277  df-top 20872  df-bases 20923  df-siga 30451  df-sigagen 30482  df-brsiga 30525
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator