Theorem dya2iocbrsiga 30617

Description: Dyadic intervals are Borel sets of ℝ. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
dya2iocbrsiga	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥,𝑛)   𝑋(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem dya2iocbrsiga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . 3 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		dya2ioc.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3	1, 2	dya2iocival 30615	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
4		mnfxr 10259	. . . . 5 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ ∈ ℝ*)
6		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
7	6	zred 11645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℝ)
8		2rp 12001	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℝ+)
10		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	9, 10	rpexpcld 13197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
12	7, 11	rerpdivcld 12067	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 10252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
14		1red 10218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
15	7, 14	readdcld 10232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋 + 1) ∈ ℝ)
16	15, 11	rerpdivcld 12067	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10252	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
18		mnflt 12121	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
19	12, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁)))
20		difioo 29824	. . . 4 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) ∧ -∞ < (𝑋 / (2↑𝑁))) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
21	5, 13, 17, 19, 20	syl31anc 1466	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) = ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))))
22		brsigarn 30527	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
23		elrnsiga 30469	. . . . 5 ⊢ (𝔅ℝ ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra)
24	22, 23	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra
25		retop 22737	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
26		iooretop 22741	. . . . . 6 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
27		elsigagen 30490	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
28	25, 26, 27	mp2an 710	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
29		df-brsiga 30525	. . . . 5 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
30	28, 29	eleqtrri 2826	. . . 4 ⊢ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ
31		iooretop 22741	. . . . . 6 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))
32		elsigagen 30490	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (topGen‘ran (,))) → (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
33	25, 31, 32	mp2an 710	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
34	33, 29	eleqtrri 2826	. . . 4 ⊢ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ
35		difelsiga 30476	. . . 4 ⊢ ((𝔅ℝ ∈ ∪ ran sigAlgebra ∧ (-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ ∧ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ) → ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅ℝ)
36	24, 30, 34, 35	mp3an 1561	. . 3 ⊢ ((-∞(,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∖ (-∞(,)(𝑋 / (2↑𝑁)))) ∈ 𝔅ℝ
37	21, 36	syl6eqelr 2836	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 / (2↑𝑁))[,)((𝑋 + 1) / (2↑𝑁))) ∈ 𝔅ℝ)
38	3, 37	eqeltrd 2827	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑋𝐼𝑁) ∈ 𝔅ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ∖ cdif 3700  ∪ cuni 4576   class class class wbr 4792  ran crn 5255  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↦ cmpt2 6803  ℝcr 10098  1c1 10100   + caddc 10102  -∞cmnf 10235  ℝ^*cxr 10236   < clt 10237   / cdiv 10847  2c2 11233  ℤcz 11540  ℝ⁺crp 11996  (,)cioo 12339  [,)cico 12341  ↑cexp 13025  topGenctg 16271  Topctop 20871  sigAlgebracsiga 30450  sigaGencsigagen 30481  𝔅_ℝcbrsiga 30524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-ac2 9448  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-acn 8929  df-ac 9100  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-seq 12967  df-exp 13026  df-topgen 16277  df-top 20872  df-bases 20923  df-siga 30451  df-sigagen 30482  df-brsiga 30525

This theorem is referenced by: (None)