Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dya2icoseg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dya2icoseg2 30680
Description: For any point and any open interval of containing that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
dya2icoseg2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝑛,𝑏,𝑥   𝐸,𝑏,𝑥   𝐼,𝑏   𝑋,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2 dya2ioc.1 . . . . . 6 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
3 eqid 2771 . . . . . 6 (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑑)))
41, 2, 3dya2icoseg 30679 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
54ralrimiva 3115 . . . 4 (𝑋 ∈ ℝ → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
653ad2ant1 1127 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))))
7 simp3 1132 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝑋𝐸)
8 iooex 12403 . . . . . . . . . 10 (,) ∈ V
98rnex 7251 . . . . . . . . 9 ran (,) ∈ V
10 bastg 20991 . . . . . . . . 9 (ran (,) ∈ V → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
12 simp2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ ran (,))
1311, 12sseldi 3750 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413, 1syl6eleqr 2861 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → 𝐸𝐽)
15 eqid 2771 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
1615rexmet 22814 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
17 recms 23387 . . . . . . . . . . 11 fld ∈ CMetSp
18 cmsms 23364 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
19 msxms 22479 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ ∞MetSp)
2017, 18, 19mp2b 10 . . . . . . . . . 10 fld ∈ ∞MetSp
21 retopn 23386 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
221, 21eqtri 2793 . . . . . . . . . . 11 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
23 rebase 20169 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
24 reds 20179 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
2524reseq1i 5529 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 23, 25xmstopn 22476 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
2827elmopn2 22470 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)))
2916, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐸𝐽 ↔ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3029simprbi 484 . . . . . 6 (𝐸𝐽 → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
3114, 30syl 17 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
32 oveq1 6803 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑))
3332sseq1d 3781 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3433rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸))
3534rspcva 3458 . . . . 5 ((𝑋𝐸 ∧ ∀𝑥𝐸𝑑 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
367, 31, 35syl2anc 573 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸)
37 rpre 12042 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ)
3815bl2ioo 22815 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) = ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)))
3938sseq1d 3781 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4037, 39sylan2 580 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4140rexbidva 3197 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
42413ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ (𝑋(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑑) ⊆ 𝐸 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
4336, 42mpbid 222 . . 3 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)
44 r19.29 3220 . . 3 ((∀𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
456, 43, 44syl2anc 573 . 2 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
46 r19.41v 3237 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) ↔ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸))
47 sstr 3760 . . . . . . 7 ((𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → 𝑏𝐸)
4847anim2i 603 . . . . . 6 ((𝑋𝑏 ∧ (𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸)) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
4948anassrs 453 . . . . 5 (((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → (𝑋𝑏𝑏𝐸))
5049reximi 3159 . . . 4 (∃𝑏 ∈ ran 𝐼((𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5146, 50sylbir 225 . . 3 ((∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5251rexlimivw 3177 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ+ (∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏 ⊆ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑))) ∧ ((𝑋𝑑)(,)(𝑋 + 𝑑)) ⊆ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
5345, 52syl 17 1 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ran (,) ∧ 𝑋𝐸) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋𝑏𝑏𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723   × cxp 5248  ran crn 5251  cres 5252  ccom 5254  cfv 6030  (class class class)co 6796  cmpt2 6798  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145  cmin 10472   / cdiv 10890  2c2 11276  cz 11584  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  cfl 12799  cexp 13067  abscabs 14182  distcds 16158  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948  MetOpencmopn 19951  fldcrefld 20167  ∞MetSpcxme 22342  MetSpcmt 22343  CMetSpccms 23348   logb clogb 24723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-fi 8477  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-refld 20168  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-fcls 21965  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-cfil 23272  df-cmet 23274  df-cms 23351  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-cxp 24525  df-logb 24724
This theorem is referenced by:  dya2iocnrect  30683
  Copyright terms: Public domain W3C validator