Theorem dvres2 23721

Description: Restriction of the base set of a derivative. The primary application of this theorem says that if a function is complex differentiable then it is also real differentiable. Unlike dvres 23720, there is no simple reverse relation relating real differentiable functions to complex differentiability, and indeed there are functions like ℜ(𝑥) which are everywhere real-differentiable but nowhere complex-differentiable.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvres2	⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Proof of Theorem dvres2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relres 5461	. . 3 ⊢ Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
3		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
5		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
6		simp1l 1105	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7		simp1r 1106	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		simp2l 1107	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
9		simp2r 1108	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ 𝑆)
10		simp3l 1109	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
11	6, 7, 8	dvcl 23708	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
12	10, 11	mpdan 703	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
13		simp3r 1110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 10, 13	dvres2lem 23719	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆) ∧ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦)
15	14	3expia 1286	. . 3 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦))
16		vex 3234	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
17	16	brres 5437	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
18		df-br 4686	. . . 4 ⊢ (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵)𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
19	17, 18	bitr3i 266	. . 3 ⊢ ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵))
20		df-br 4686	. . 3 ⊢ (𝑥(𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))
21	15, 19, 20	3imtr3g 284	. 2 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵))))
22	2, 21	relssdv 5246	1 ⊢ (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴 ⊆ 𝑆 ∧ 𝐵 ⊆ 𝑆)) → ((𝑆 D 𝐹) ↾ 𝐵) ⊆ (𝐵 D (𝐹 ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ↾ cres 5145  Rel wrel 5148  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   − cmin 10304   / cdiv 10722   ↾_t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ℂ_fldccnfld 19794   D cdv 23672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675  df-dv 23676

This theorem is referenced by:  dvres3  23722  dvres3a  23723