MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrelog Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrelog 24428
Description: The derivative of the real logarithm function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvrelog (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))

Proof of Theorem dvrelog
StepHypRef Expression
1 dfrelog 24357 . . 3 (log ↾ ℝ+) = (exp ↾ ℝ)
21oveq2i 6701 . 2 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (ℝ D (exp ↾ ℝ))
3 reeff1o 24246 . . . . . . . . 9 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
4 f1of 6175 . . . . . . . . 9 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+
6 rpssre 11881 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
7 fss 6094 . . . . . . . 8 (((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ ∧ ℝ+ ⊆ ℝ) → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
85, 6, 7mp2an 708 . . . . . . 7 (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
9 ax-resscn 10031 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
10 efcn 24242 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
11 rescncf 22747 . . . . . . . . 9 (ℝ ⊆ ℂ → (exp ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
129, 10, 11mp2 9 . . . . . . . 8 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
13 cncffvrn 22748 . . . . . . . 8 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
149, 12, 13mp2an 708 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
158, 14mpbir 221 . . . . . 6 (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
1615a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (exp ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
17 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
18 eff 14856 . . . . . . . . . 10 exp:ℂ⟶ℂ
19 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℂ ⊆ ℂ
20 dvef 23788 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
2120dmeqi 5357 . . . . . . . . . . . 12 dom (ℂ D exp) = dom exp
2218fdmi 6090 . . . . . . . . . . . 12 dom exp = ℂ
2321, 22eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 dom (ℂ D exp) = ℂ
249, 23sseqtr4i 3671 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ dom (ℂ D exp)
25 dvres3 23722 . . . . . . . . . 10 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ exp:ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D exp))) → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ))
2617, 18, 19, 24, 25mp4an 709 . . . . . . . . 9 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ((ℂ D exp) ↾ ℝ)
2720reseq1i 5424 . . . . . . . . 9 ((ℂ D exp) ↾ ℝ) = (exp ↾ ℝ)
2826, 27eqtri 2673 . . . . . . . 8 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (exp ↾ ℝ)
2928dmeqi 5357 . . . . . . 7 dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = dom (exp ↾ ℝ)
305fdmi 6090 . . . . . . 7 dom (exp ↾ ℝ) = ℝ
3129, 30eqtri 2673 . . . . . 6 dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ
3231a1i 11 . . . . 5 (⊤ → dom (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ)
33 0nrp 11903 . . . . . . 7 ¬ 0 ∈ ℝ+
3428rneqi 5384 . . . . . . . . 9 ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ran (exp ↾ ℝ)
35 f1ofo 6182 . . . . . . . . . 10 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+)
36 forn 6156 . . . . . . . . . 10 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+)
373, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
3834, 37eqtri 2673 . . . . . . . 8 ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = ℝ+
3938eleq2i 2722 . . . . . . 7 (0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)) ↔ 0 ∈ ℝ+)
4033, 39mtbir 312 . . . . . 6 ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ))
4140a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D (exp ↾ ℝ)))
423a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+)
4316, 32, 41, 42dvcnvre 23827 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)))))
4443trud 1533 . . 3 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))))
4528fveq1i 6230 . . . . . 6 ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))
46 f1ocnvfv2 6573 . . . . . . 7 (((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
473, 46mpan 706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((exp ↾ ℝ)‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
4845, 47syl5eq 2697 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)) = 𝑥)
4948oveq2d 6706 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥))) = (1 / 𝑥))
5049mpteq2ia 4773 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / ((ℝ D (exp ↾ ℝ))‘((exp ↾ ℝ)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
5144, 50eqtri 2673 . 2 (ℝ D (exp ↾ ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
522, 51eqtri 2673 1 (ℝ D (log ↾ ℝ+)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wss 3607  {cpr 4212  cmpt 4762  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   / cdiv 10722  +crp 11870  expce 14836  cnccncf 22726   D cdv 23672  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  relogcn  24429  advlog  24445  advlogexp  24446  logccv  24454  dvcxp1  24526  loglesqrt  24544  logdivsum  25267  log2sumbnd  25278  logdivsqrle  30856
  Copyright terms: Public domain W3C validator