MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrecg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrecg 23781
Description: Derivative of the reciprocal of a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrecg.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvrecg.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvrecg.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
dvrecg.c ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
dvrecg.db (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
Assertion
Ref Expression
dvrecg (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem dvrecg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvrecg.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnelprrecn 10067 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 dvrecg.b . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}))
5 dvrecg.c . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶𝑉)
6 dvrecg.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 eldifi 3765 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℂ)
98adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ∈ ℂ)
10 eldifsni 4353 . . . . 5 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
1110adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑦 ≠ 0)
127, 9, 11divcld 10839 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / 𝑦) ∈ ℂ)
139sqcld 13046 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ∈ ℂ)
14 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 2 ∈ ℤ)
169, 11, 15expne0d 13054 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑦↑2) ≠ 0)
177, 13, 16divcld 10839 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
1817negcld 10417 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → -(𝐴 / (𝑦↑2)) ∈ ℂ)
19 dvrecg.db . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐵)) = (𝑥𝑋𝐶))
20 dvrec 23763 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
216, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝐴 / 𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ -(𝐴 / (𝑦↑2))))
22 oveq2 6698 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / 𝑦) = (𝐴 / 𝐵))
23 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦↑2) = (𝐵↑2))
2423oveq2d 6706 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 / (𝑦↑2)) = (𝐴 / (𝐵↑2)))
2524negeqd 10313 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → -(𝐴 / (𝑦↑2)) = -(𝐴 / (𝐵↑2)))
261, 3, 4, 5, 12, 18, 19, 21, 22, 25dvmptco 23780 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)))
276adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 eldifi 3765 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝐵 ∈ ℂ)
294, 28syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
3029sqcld 13046 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
31 eldifsn 4350 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
324, 31sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3332simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵 ≠ 0)
3414a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 2 ∈ ℤ)
3529, 33, 34expne0d 13054 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐵↑2) ≠ 0)
3627, 30, 35divcld 10839 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 / (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
371, 29, 5, 19dvmptcl 23767 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐶 ∈ ℂ)
3836, 37mulneg1d 10521 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
3927, 37, 30, 35div23d 10876 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)) = ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶))
4039eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4140negeqd 10313 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → -((𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4238, 41eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶) = -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2)))
4342mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (-(𝐴 / (𝐵↑2)) · 𝐶)) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
4426, 43eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋 ↦ (𝐴 / 𝐵))) = (𝑥𝑋 ↦ -((𝐴 · 𝐶) / (𝐵↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  {csn 4210  {cpr 4212  cmpt 4762  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  cexp 12900   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvmptdiv  23782
  Copyright terms: Public domain W3C validator