Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvrcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvrcan1 18912
 Description: A cancellation law for division. (divcan1 10907 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvrass.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dvrass.o 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dvrass.d / = (/r𝑅)
dvrass.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvrcan1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)

Proof of Theorem dvrcan1
StepHypRef Expression
1 dvrass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 dvrass.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 dvrass.o . . . . 5 𝑈 = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2761 . . . . 5 (invr𝑅) = (invr𝑅)
5 dvrass.d . . . . 5 / = (/r𝑅)
61, 2, 3, 4, 5dvrval 18906 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
763adant1 1125 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)))
87oveq1d 6830 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌))
9 simp1 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
10 simp2 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑋𝐵)
113, 4, 1ringinvcl 18897 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
12113adant2 1126 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
131, 3unitcl 18880 . . . . 5 (𝑌𝑈𝑌𝐵)
14133ad2ant3 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → 𝑌𝐵)
151, 2ringass 18785 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
169, 10, 12, 14, 15syl13anc 1479 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)))
17 eqid 2761 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (1r𝑅)
183, 4, 2, 17unitlinv 18898 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
19183adant2 1126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌) = (1r𝑅))
2019oveq2d 6831 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = (𝑋 · (1r𝑅)))
211, 2, 17ringridm 18793 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
22213adant3 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (1r𝑅)) = 𝑋)
2320, 22eqtrd 2795 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → (𝑋 · (((invr𝑅)‘𝑌) · 𝑌)) = 𝑋)
2416, 23eqtrd 2795 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 · ((invr𝑅)‘𝑌)) · 𝑌) = 𝑋)
258, 24eqtrd 2795 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝑈) → ((𝑋 / 𝑌) · 𝑌) = 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  .rcmulr 16165  1rcur 18722  Ringcrg 18768  Unitcui 18860  invrcinvr 18892  /rcdvr 18903 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-0g 16325  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904 This theorem is referenced by:  dvreq1  18914  irredrmul  18928  isdrng2  18980  cnflddiv  19999  isarchiofld  30148
 Copyright terms: Public domain W3C validator