Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvradcnv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvradcnv2 39072
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is (at least) as large as the radius of convergence of 𝐺. This version of dvradcnv 24401 uses a shifted version of 𝐻 to match the sum form of (ℂ D 𝐹) in pserdv2 24410 (and shows how to use uzmptshftfval 39071 to shift a maps-to function on a set of upper integers). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv2.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv2.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv2.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
dvradcnv2.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv2.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv2.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv2 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝑋   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑋   𝐺,𝑟
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv2
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10232 . . . . 5 0 ∈ ℂ
2 ax-1cn 10194 . . . . 5 1 ∈ ℂ
31, 2subnegi 10560 . . . 4 (0 − -1) = (0 + 1)
4 0p1e1 11332 . . . 4 (0 + 1) = 1
53, 4eqtri 2791 . . 3 (0 − -1) = 1
6 seqeq1 13011 . . 3 ((0 − -1) = 1 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻))
75, 6ax-mp 5 . 2 seq(0 − -1)( + , 𝐻) = seq1( + , 𝐻)
8 dvradcnv2.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))))
9 ovex 6821 . . . . . . . 8 ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) ∈ V
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → 𝑛 = (𝑚 − -1))
11 fveq2 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝐴𝑛) = (𝐴‘(𝑚 − -1)))
1210, 11oveq12d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 · (𝐴𝑛)) = ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))))
13 oveq1 6798 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑛 − 1) = ((𝑚 − -1) − 1))
1413oveq2d 6807 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑚 − -1) → (𝑋↑(𝑛 − 1)) = (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))
1512, 14oveq12d 6809 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 − -1) → ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1))) = (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))))
16 nnuz 11924 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
17 nn0uz 11923 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
18 1pneg1e0 11329 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
1918fveq2i 6334 . . . . . . . . 9 (ℤ‘(1 + -1)) = (ℤ‘0)
2017, 19eqtr4i 2794 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘(1 + -1))
21 1zzd 11608 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
2221znegcld 11684 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ∈ ℤ)
238, 9, 15, 16, 20, 21, 22uzmptshftfval 39071 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))))
24 nn0cn 11502 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0𝑚 ∈ ℂ)
2524adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℂ)
26 1cnd 10256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26subnegd 10599 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 − -1) = (𝑚 + 1))
2827fveq2d 6335 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 − -1)) = (𝐴‘(𝑚 + 1)))
2927, 28oveq12d 6809 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) = ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
3027oveq1d 6806 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = ((𝑚 + 1) − 1))
3125, 26pncand 10593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) − 1) = 𝑚)
3230, 31eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 − -1) − 1) = 𝑚)
3332oveq2d 6807 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)) = (𝑋𝑚))
3429, 33oveq12d 6809 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1))) = (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
3534mpteq2dva 4875 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 − -1) · (𝐴‘(𝑚 − -1))) · (𝑋↑((𝑚 − -1) − 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3623, 35eqtrd 2803 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻 shift -1) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))))
3736seqeq3d 13016 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))))
38 dvradcnv2.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
39 fveq2 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑚))
40 oveq2 6799 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑚))
4139, 40oveq12d 6809 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4241cbvmptv 4881 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚)))
4342mpteq2i 4872 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
4438, 43eqtri 2791 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑚) · (𝑥𝑚))))
45 dvradcnv2.r . . . . . 6 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
46 eqid 2769 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))
47 dvradcnv2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
48 dvradcnv2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
49 dvradcnv2.l . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
5044, 45, 46, 47, 48, 49dvradcnv 24401 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) · (𝑋𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
5137, 50eqeltrd 2848 . . . 4 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ )
52 climdm 14496 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
5351, 52sylib 208 . . 3 (𝜑 → seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
54 0z 11588 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
55 neg1z 11613 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
56 nnex 11226 . . . . . . . . . 10 ℕ ∈ V
5756mptex 6628 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 · (𝐴𝑛)) · (𝑋↑(𝑛 − 1)))) ∈ V
588, 57eqeltri 2844 . . . . . . . 8 𝐻 ∈ V
5958seqshft 14036 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1))
6054, 55, 59mp2an 707 . . . . . 6 seq0( + , (𝐻 shift -1)) = (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1)
6160breq1i 4790 . . . . 5 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ (seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
62 seqex 13010 . . . . . 6 seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V
63 climshft 14518 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ V) → ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1)))))
6455, 62, 63mp2an 707 . . . . 5 ((seq(0 − -1)( + , 𝐻) shift -1) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
6561, 64bitri 264 . . . 4 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ↔ seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))))
66 fvex 6341 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) ∈ V
6762, 66breldm 5466 . . . 4 (seq(0 − -1)( + , 𝐻) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6865, 67sylbi 207 . . 3 (seq0( + , (𝐻 shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝐻 shift -1))) → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
6953, 68syl 17 . 2 (𝜑 → seq(0 − -1)( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
707, 69syl5eqelr 2853 1 (𝜑 → seq1( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  {crab 3063  Vcvv 3348   class class class wbr 4783  cmpt 4860  dom cdm 5248  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791  supcsup 8500  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  *cxr 10273   < clt 10274  cmin 10466  -cneg 10467  cn 11220  0cn0 11492  cz 11577  cuz 11887  seqcseq 13008  cexp 13067   shift cshi 14017  abscabs 14185  cli 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-fal 1635  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-shft 14018  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-limsup 14413  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-sum 14628
This theorem is referenced by:  binomcxplemcvg  39079
  Copyright terms: Public domain W3C validator