MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvradcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvradcnv 24366
Description: The radius of convergence of the (formal) derivative 𝐻 of the power series 𝐺 is at least as large as the radius of convergence of 𝐺. (In fact they are equal, but we don't have as much use for the negative side of this claim.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvradcnv.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
dvradcnv.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
dvradcnv.h 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
dvradcnv.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvradcnv.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dvradcnv.l (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dvradcnv (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝐺,𝑟   𝑛,𝑟,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝑅(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑛,𝑟)

Proof of Theorem dvradcnv
Dummy variables 𝑘 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11907 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 1nn0 11492 . . 3 1 ∈ ℕ0
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
4 ax-1cn 10178 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 nn0cn 11486 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
65adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
7 nn0ex 11482 . . . . . . 7 0 ∈ V
87mptex 6642 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) ∈ V
98shftval4 14008 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
104, 6, 9sylancr 698 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
11 addcom 10406 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
124, 6, 11sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
1312fveq2d 6348 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)))
14 peano2nn0 11517 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
1514adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
17 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐺𝑋)‘𝑖) = ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))
1817fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))))
1916, 18oveq12d 6823 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
20 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))
21 ovex 6833 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) ∈ V
2219, 20, 21fvmpt 6436 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
2315, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))))
24 dvradcnv.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
25 dvradcnv.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
2625pserval2 24356 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2724, 14, 26syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))
2827fveq2d 6348 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
2928oveq2d 6821 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐺𝑋)‘(𝑘 + 1)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3023, 29eqtrd 2786 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(𝑘 + 1)) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3110, 13, 303eqtrd 2790 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
3215nn0red 11536 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
33 dvradcnv.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
34 ffvelrn 6512 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3533, 14, 34syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
36 expcl 13064 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3724, 14, 36syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
3835, 37mulcld 10244 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
3938abscld 14366 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
4032, 39remulcld 10254 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℝ)
4131, 40eqeltrd 2831 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℝ)
42 oveq1 6812 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + 1) = (𝑘 + 1))
4342fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑛 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
4442, 43oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
45 oveq2 6813 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑋𝑛) = (𝑋𝑘))
4644, 45oveq12d 6823 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
47 dvradcnv.h . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑋𝑛)))
48 ovex 6833 . . . . 5 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ V
4946, 47, 48fvmpt 6436 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
5049adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)))
5115nn0cnd 11537 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
5251, 35mulcld 10244 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
53 expcl 13064 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5424, 53sylan 489 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑘) ∈ ℂ)
5552, 54mulcld 10244 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
5650, 55eqeltrd 2831 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
57 dvradcnv.r . . . . . . . 8 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
58 dvradcnv.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑋) < 𝑅)
59 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘𝑖 = 𝑘)
60 fveq2 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑘 → ((𝐺𝑋)‘𝑖) = ((𝐺𝑋)‘𝑘))
6160fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑘 → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) = (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘)))
6259, 61oveq12d 6823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) = (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6362cbvmptv 4894 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑘 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑘))))
6425, 33, 57, 24, 58, 63radcnvlt1 24363 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ∧ seq0( + , (abs ∘ (𝐺𝑋))) ∈ dom ⇝ ))
6564simpld 477 . . . . . 6 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ )
66 climdm 14476 . . . . . 6 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
6765, 66sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
68 0z 11572 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
69 neg1z 11597 . . . . . 6 -1 ∈ ℤ
708isershft 14585 . . . . . 6 ((0 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))))))
7168, 69, 70mp2an 710 . . . . 5 (seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ↔ seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
7267, 71sylib 208 . . . 4 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))))
73 seqex 12989 . . . . 5 seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ V
74 fvex 6354 . . . . 5 ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) ∈ V
7573, 74breldm 5476 . . . 4 (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ⇝ ( ⇝ ‘seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))))) → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
7672, 75syl 17 . . 3 (𝜑 → seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
77 eqid 2752 . . . 4 (ℤ‘(0 + -1)) = (ℤ‘(0 + -1))
78 neg1cn 11308 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
7978addid2i 10408 . . . . . . 7 (0 + -1) = -1
80 0le1 10735 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
81 1re 10223 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
82 le0neg2 10721 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
8480, 83mpbi 220 . . . . . . 7 -1 ≤ 0
8579, 84eqbrtri 4817 . . . . . 6 (0 + -1) ≤ 0
8679, 69eqeltri 2827 . . . . . . 7 (0 + -1) ∈ ℤ
8786eluz1i 11879 . . . . . 6 (0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ (0 + -1) ≤ 0))
8868, 85, 87mpbir2an 993 . . . . 5 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1))
8988a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘(0 + -1)))
90 eluzelcn 11883 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
9190adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
924, 91, 9sylancr 698 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)))
93 nn0re 11485 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
9493adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
9525, 33, 24psergf 24357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝑋):ℕ0⟶ℂ)
9695ffvelrnda 6514 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑋)‘𝑖) ∈ ℂ)
9796abscld 14366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)) ∈ ℝ)
9894, 97remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℝ)
9998recnd 10252 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))) ∈ ℂ)
10099, 20fmptd 6540 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ)
1014, 90, 11sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) = (𝑘 + 1))
102 eluzp1p1 11897 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((0 + -1) + 1)))
10379oveq1i 6815 . . . . . . . . . . 11 ((0 + -1) + 1) = (-1 + 1)
104 1pneg1e0 11313 . . . . . . . . . . . 12 (1 + -1) = 0
1054, 78, 104addcomli 10412 . . . . . . . . . . 11 (-1 + 1) = 0
106103, 105eqtri 2774 . . . . . . . . . 10 ((0 + -1) + 1) = 0
107106fveq2i 6347 . . . . . . . . 9 (ℤ‘((0 + -1) + 1)) = (ℤ‘0)
1081, 107eqtr4i 2777 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘((0 + -1) + 1))
109102, 108syl6eleqr 2842 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
110101, 109eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1)) → (1 + 𝑘) ∈ ℕ0)
111 ffvelrn 6512 . . . . . 6 (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))):ℕ0⟶ℂ ∧ (1 + 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
112100, 110, 111syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖))))‘(1 + 𝑘)) ∈ ℂ)
11392, 112eqeltrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(0 + -1))) → (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘) ∈ ℂ)
11477, 89, 113iserex 14578 . . 3 (𝜑 → (seq(0 + -1)( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ ))
11576, 114mpbid 222 . 2 (𝜑 → seq0( + , ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)) ∈ dom ⇝ )
116 1red 10239 . . 3 ((𝜑𝑋 = 0) → 1 ∈ ℝ)
117 df-ne 2925 . . . . . 6 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
118117biimpri 218 . . . . 5 𝑋 = 0 → 𝑋 ≠ 0)
119 absrpcl 14219 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
12024, 118, 119syl2an 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
121120rprecred 12068 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ)
122116, 121ifclda 4256 . 2 (𝜑 → if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) ∈ ℝ)
123 oveq1 6812 . . . . 5 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
124123breq2d 4808 . . . 4 (1 = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
125 oveq1 6812 . . . . 5 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
126125breq2d 4808 . . . 4 ((1 / (abs‘𝑋)) = if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) → ((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) ↔ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))))
127 elnnuz 11909 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
128 nnnn0 11483 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
129127, 128sylbir 225 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → 𝑘 ∈ ℕ0)
13015nn0ge0d 11538 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
13138absge0d 14374 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))
13232, 39, 130, 131mulge0d 10788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
133129, 132sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
134133adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → 0 ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
135 oveq1 6812 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 0 → (𝑋𝑘) = (0↑𝑘))
136 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
137136, 127sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1381370expd 13210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (0↑𝑘) = 0)
139135, 138sylan9eqr 2808 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (𝑋𝑘) = 0)
140139oveq2d 6821 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0))
14152mul01d 10419 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
142129, 141sylan2 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
143142adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · 0) = 0)
144140, 143eqtrd 2786 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = 0)
145144abs00bd 14222 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = 0)
14640recnd 10252 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) ∈ ℂ)
147146mulid2d 10242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
148129, 147sylan2 492 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
149148adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
150134, 145, 1493brtr4d 4828 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (1 · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
15155abscld 14366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ∈ ℝ)
15251, 35, 54mulassd 10247 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
153152fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15435, 54mulcld 10244 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) ∈ ℂ)
15551, 154absmuld 14384 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
15632, 130absidd 14352 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
157156oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝑘 + 1)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
158153, 155, 1573eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
159 eqle 10323 . . . . . . . . 9 (((abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
160151, 158, 159syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
161160adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
16224adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
163119rpreccld 12067 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
164162, 163sylan 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℝ+)
165164rpcnd 12059 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (1 / (abs‘𝑋)) ∈ ℂ)
16651adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
16739adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℝ)
168167recnd 10252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
169165, 166, 168mul12d 10429 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
17038adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
17124ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℂ)
172 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ≠ 0)
173170, 171, 172absdivd 14385 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)))
17435adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
17537adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
176174, 175, 171, 172divassd 11020 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
1776adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
178 pncan 10471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
179177, 4, 178sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
180179oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑋𝑘))
18115nn0zd 11664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
182181adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
183171, 172, 182expm1d 13204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋↑((𝑘 + 1) − 1)) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
184180, 183eqtr3d 2788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (𝑋𝑘) = ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋))
185184oveq2d 6821 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑋↑(𝑘 + 1)) / 𝑋)))
186176, 185eqtr4d 2789 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))
187186fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))) / 𝑋)) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
18824abscld 14366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
189188ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ)
190189recnd 10252 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℂ)
191162, 119sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ∈ ℝ+)
192191rpne0d 12062 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘𝑋) ≠ 0)
193168, 190, 192divrec2d 10989 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))) / (abs‘𝑋)) = ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))))
194173, 187, 1933eqtr3rd 2795 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1))))) = (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘))))
195194oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((𝑘 + 1) · ((1 / (abs‘𝑋)) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
196169, 195eqtrd 2786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))) = ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋𝑘)))))
197161, 196breqtrrd 4824 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
198129, 197sylanl2 686 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
199117, 198sylan2br 494 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑋 = 0) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ ((1 / (abs‘𝑋)) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
200124, 126, 150, 199ifbothda 4259 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
20150fveq2d 6348 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
202129, 201sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) = (abs‘(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑋𝑘))))
20331oveq2d 6821 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
204129, 203sylan2 492 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)) = (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · ((𝑘 + 1) · (abs‘((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑋↑(𝑘 + 1)))))))
205200, 202, 2043brtr4d 4828 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (abs‘(𝐻𝑘)) ≤ (if(𝑋 = 0, 1, (1 / (abs‘𝑋))) · (((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (𝑖 · (abs‘((𝐺𝑋)‘𝑖)))) shift -1)‘𝑘)))
2061, 3, 41, 56, 115, 122, 205cvgcmpce 14741 1 (𝜑 → seq0( + , 𝐻) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  {crab 3046  ifcif 4222   class class class wbr 4796  cmpt 4873  dom cdm 5258  ccom 5262  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  supcsup 8503  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  0cn0 11476  cz 11561  cuz 11871  +crp 12017  seqcseq 12987  cexp 13046   shift cshi 13997  abscabs 14165  cli 14406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24373  dvradcnv2  39040
  Copyright terms: Public domain W3C validator