MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvply1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvply1 24234
Description: Derivative of a polynomial, explicit sum version. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvply1.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
dvply1.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
dvply1.b 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
dvply1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
dvply1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑧,𝑘   𝑧,𝐴,𝑘   𝑧,𝐵   𝑘,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑧,𝑘)   𝐺(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem dvply1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvply1.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
21oveq2d 6825 . 2 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))))
3 eqid 2756 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
43cnfldtop 22784 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
53cnfldtopon 22783 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
65toponunii 20919 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
76restid 16292 . . . . 5 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
84, 7ax-mp 5 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
98eqcomi 2765 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
10 cnelprrecn 10217 . . . 4 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
126topopn 20909 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
134, 12mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
14 fzfid 12962 . . 3 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
15 dvply1.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
16 elfznn0 12622 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
17 ffvelrn 6516 . . . . . . 7 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1815, 16, 17syl2an 495 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
1918adantr 472 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
20 simpr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℂ)
2116ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2220, 21expcld 13198 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2319, 22mulcld 10248 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
24233impa 1101 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
25183adant3 1127 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
26 0cnd 10221 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 = 0) → 0 ∈ ℂ)
27 simpl2 1230 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
2827, 16syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11541 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
30 simpl3 1232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑧 ∈ ℂ)
31 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → ¬ 𝑘 = 0)
32 elnn0 11482 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
3328, 32sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
34 orel2 397 . . . . . . . . 9 𝑘 = 0 → ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ))
3531, 33, 34sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → 𝑘 ∈ ℕ)
36 nnm1nn0 11522 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3735, 36syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
3830, 37expcld 13198 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
3929, 38mulcld 10248 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ ¬ 𝑘 = 0) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
4026, 39ifclda 4260 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
4125, 40mulcld 10248 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
4210a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
43 c0ex 10222 . . . . . 6 0 ∈ V
44 ovex 6837 . . . . . 6 (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ V
4543, 44ifex 4296 . . . . 5 if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V
4645a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ V)
4716adantl 473 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
48 dvexp2 23912 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
4947, 48syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
5042, 22, 46, 49, 18dvmptcmul 23922 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
519, 3, 11, 13, 14, 24, 41, 50dvmptfsum 23933 . 2 (𝜑 → (ℂ D (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))))
52 elfznn 12559 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
5352nnne0d 11253 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
5453neneqd 2933 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ¬ 𝑘 = 0)
5554adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
5655iffalsed 4237 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
5756oveq2d 6825 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
5857sumeq2dv 14628 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))
59 1eluzge0 11921 . . . . . . 7 1 ∈ (ℤ‘0)
60 fzss1 12569 . . . . . . 7 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6159, 60mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
6215adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
6352nnnn0d 11539 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6462, 63, 17syl2an 495 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6553adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
6665neneqd 2933 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 = 0)
6766iffalsed 4237 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))
6863adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11541 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
70 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑧 ∈ ℂ)
7152, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7271adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
7370, 72expcld 13198 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
7469, 73mulcld 10248 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) ∈ ℂ)
7567, 74eqeltrd 2835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
7664, 75mulcld 10248 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) ∈ ℂ)
77 eldifn 3872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
78 0p1e1 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7978oveq1i 6819 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
8079eleq2i 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (1...𝑁))
8177, 80sylnibr 318 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
8281adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ¬ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))
83 eldifi 3871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
8483adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
85 dvply1.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86 nn0uz 11911 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (ℤ‘0)
8785, 86syl6eleq 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
8887ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
89 elfzp12 12608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁))))
9184, 90mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → (𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)))
92 orel2 397 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁) → ((𝑘 = 0 ∨ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑁)) → 𝑘 = 0))
9382, 91, 92sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → 𝑘 = 0)
9493iftrued 4234 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = 0)
9594oveq2d 6825 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = ((𝐴𝑘) · 0))
9662, 16, 17syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
9796mul01d 10423 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9883, 97sylan2 492 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · 0) = 0)
9995, 98eqtrd 2790 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...𝑁) ∖ (1...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = 0)
100 fzfid 12962 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
10161, 76, 99, 100fsumss 14651 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))))
102 elfznn0 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
103102adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℕ0)
104103nn0cnd 11541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
105 ax-1cn 10182 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
106 pncan 10475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
107104, 105, 106sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) − 1) = 𝑗)
108107oveq2d 6825 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)) = (𝑧𝑗))
109108oveq2d 6825 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗)))
110109oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
11115ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
112 peano2nn0 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0 → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
113102, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
114113adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℕ0)
115111, 114ffvelrnd 6519 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴‘(𝑗 + 1)) ∈ ℂ)
116114nn0cnd 11541 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑗 + 1) ∈ ℂ)
117 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑧 ∈ ℂ)
118117, 103expcld 13198 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝑧𝑗) ∈ ℂ)
119115, 116, 118mulassd 10251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧𝑗))))
120115, 116mulcomd 10249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
121120oveq1d 6824 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (((𝐴‘(𝑗 + 1)) · (𝑗 + 1)) · (𝑧𝑗)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
122110, 119, 1213eqtr2d 2796 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
123122sumeq2dv 14628 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
124 1m1e0 11277 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
125124oveq1i 6819 . . . . . . . 8 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
126125sumeq1i 14623 . . . . . . 7 Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
127 oveq1 6816 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
128127fveq2d 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴‘(𝑘 + 1)) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
129127, 128oveq12d 6827 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))))
130 oveq2 6817 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝑧𝑘) = (𝑧𝑗))
131129, 130oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = (((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗)))
132131cbvsumv 14621 . . . . . . 7 Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑗 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑗 + 1) · (𝐴‘(𝑗 + 1))) · (𝑧𝑗))
133123, 126, 1323eqtr4g 2815 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
134 1zzd 11596 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
13585adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
136135nn0zd 11668 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13764, 74mulcld 10248 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) ∈ ℂ)
138 fveq2 6348 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴𝑘) = (𝐴‘(𝑗 + 1)))
139 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑘 = (𝑗 + 1))
140 oveq1 6816 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 − 1) = ((𝑗 + 1) − 1))
141140oveq2d 6825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑧↑(𝑘 − 1)) = (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))
142139, 141oveq12d 6827 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))) = ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1))))
143138, 142oveq12d 6827 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
144134, 134, 136, 137, 143fsumshftm 14708 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑗 ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))((𝐴‘(𝑗 + 1)) · ((𝑗 + 1) · (𝑧↑((𝑗 + 1) − 1)))))
145 elfznn0 12622 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
146145adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
147 ovex 6837 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V
148 dvply1.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
149148fvmpt2 6449 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) ∈ V) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
150146, 147, 149sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐵𝑘) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
151150oveq1d 6824 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
152151sumeq2dv 14628 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑧𝑘)))
153133, 144, 1523eqtr4d 2800 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
15458, 101, 1533eqtr3d 2798 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
155154mpteq2dva 4892 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
156 dvply1.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
157155, 156eqtr4d 2793 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · if(𝑘 = 0, 0, (𝑘 · (𝑧↑(𝑘 − 1)))))) = 𝐺)
1582, 51, 1573eqtrd 2794 1 (𝜑 → (ℂ D 𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wne 2928  Vcvv 3336  cdif 3708  wss 3711  ifcif 4226  {cpr 4319  cmpt 4877  wf 6041  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cmin 10454  cn 11208  0cn0 11480  cuz 11875  ...cfz 12515  cexp 13050  Σcsu 14611  t crest 16279  TopOpenctopn 16280  fldccnfld 19944  Topctop 20896   D cdv 23822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202  ax-addf 10203  ax-mulf 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-iin 4671  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-of 7058  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-supp 7460  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-2o 7726  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-pm 8022  df-ixp 8071  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-fsupp 8437  df-fi 8478  df-sup 8509  df-inf 8510  df-oi 8576  df-card 8951  df-cda 9178  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-4 11269  df-5 11270  df-6 11271  df-7 11272  df-8 11273  df-9 11274  df-n0 11481  df-z 11566  df-dec 11682  df-uz 11876  df-q 11978  df-rp 12022  df-xneg 12135  df-xadd 12136  df-xmul 12137  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-struct 16057  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-starv 16154  df-sca 16155  df-vsca 16156  df-ip 16157  df-tset 16158  df-ple 16159  df-ds 16162  df-unif 16163  df-hom 16164  df-cco 16165  df-rest 16281  df-topn 16282  df-0g 16300  df-gsum 16301  df-topgen 16302  df-pt 16303  df-prds 16306  df-xrs 16360  df-qtop 16365  df-imas 16366  df-xps 16368  df-mre 16444  df-mrc 16445  df-acs 16447  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-submnd 17533  df-mulg 17738  df-cntz 17946  df-cmn 18391  df-psmet 19936  df-xmet 19937  df-met 19938  df-bl 19939  df-mopn 19940  df-fbas 19941  df-fg 19942  df-cnfld 19945  df-top 20897  df-topon 20914  df-topsp 20935  df-bases 20948  df-cld 21021  df-ntr 21022  df-cls 21023  df-nei 21100  df-lp 21138  df-perf 21139  df-cn 21229  df-cnp 21230  df-haus 21317  df-tx 21563  df-hmeo 21756  df-fil 21847  df-fm 21939  df-flim 21940  df-flf 21941  df-xms 22322  df-ms 22323  df-tms 22324  df-cncf 22878  df-limc 23825  df-dv 23826
This theorem is referenced by:  dvply2g  24235
  Copyright terms: Public domain W3C validator