Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvntaylp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvntaylp0 24346
 Description: The first 𝑁 derivatives of the Taylor polynomial at 𝐵 match the derivatives of the function from which it is derived. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dvntaylp0.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvntaylp0.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
dvntaylp0.a (𝜑𝐴𝑆)
dvntaylp0.m (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
dvntaylp0.b (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
dvntaylp0.t 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
Assertion
Ref Expression
dvntaylp0 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))

Proof of Theorem dvntaylp0
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvntaylp0.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
2 elfz3nn0 12641 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 11555 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
61, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
76nn0cnd 11555 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
84, 7npcand 10598 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁𝑀) + 𝑀) = 𝑁)
98oveq1d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))
10 dvntaylp0.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑁(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)
119, 10syl6eqr 2823 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵) = 𝑇)
1211oveq2d 6809 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵)) = (ℂ D𝑛 𝑇))
1312fveq1d 6334 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀))
14 dvntaylp0.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15 dvntaylp0.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
16 dvntaylp0.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
17 fznn0sub 12580 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
181, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
19 dvntaylp0.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
208fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2120dmeqd 5464 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
2219, 21eleqtrrd 2853 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘((𝑁𝑀) + 𝑀)))
2314, 15, 16, 6, 18, 22dvntaylp 24345 . . . 4 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 (((𝑁𝑀) + 𝑀)(𝑆 Tayl 𝐹)𝐵))‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2413, 23eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → ((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵))
2524fveq1d 6334 . 2 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵))
26 cnex 10219 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
28 elpm2r 8027 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2927, 14, 15, 16, 28syl22anc 1477 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
30 dvnf 23910 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
3114, 29, 6, 30syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀):dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)⟶ℂ)
32 dvnbss 23911 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
3314, 29, 6, 32syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ dom 𝐹)
34 fdm 6191 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
3515, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
3633, 35sseqtrd 3790 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝐴)
3736, 16sstrd 3762 . . . 4 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀) ⊆ 𝑆)
3818orcd 862 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∨ (𝑁𝑀) = +∞))
39 dvnadd 23912 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)) → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
4014, 29, 6, 18, 39syl22anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))))
417, 4pncan3d 10597 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
4241fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4340, 42eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4443dmeqd 5464 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)) = dom ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑁))
4519, 44eleqtrrd 2853 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘(𝑁𝑀)))
4614, 31, 37, 18, 45taylplem1 24337 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((0[,](𝑁𝑀)) ∩ ℤ)) → 𝐵 ∈ dom ((𝑆 D𝑛 ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))‘𝑘))
47 eqid 2771 . . . 4 ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) = ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)
4814, 31, 37, 38, 46, 47tayl0 24336 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom ((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵) ∧ (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵)))
4948simprd 483 . 2 (𝜑 → (((𝑁𝑀)(𝑆 Tayl ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀))𝐵)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
5025, 49eqtrd 2805 1 (𝜑 → (((ℂ D𝑛 𝑇)‘𝑀)‘𝐵) = (((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑀)‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  {cpr 4318  dom cdm 5249  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↑pm cpm 8010  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  +∞cpnf 10273   − cmin 10468  ℕ0cn0 11494  ...cfz 12533   D𝑛 cdvn 23848   Tayl ctayl 24327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851  df-dvn 23852  df-tayl 24329 This theorem is referenced by:  taylthlem1  24347  taylthlem2  24348
 Copyright terms: Public domain W3C validator